事故も工事もないのに、渋滞はなぜ起きるのか

1935 年、ブルース・グリーンシールズは、速さが密度とともに直線で下がると考えた。$v_f$ は道が空いているときの速さ、${\rho }_j$ は車がすき間なく詰まって止まるときの密度である。

1. 流量は密度と速さの積である。

   $$q=\rho v$$

2. 速さは密度とともに直線で下がるとする。

   $$v=v_f\left(1-\frac{\rho }{{\rho }_j}\right)$$

3. 2 を 1 に入れると流量は密度の 2 次関数になり、$\rho ={\rho }_j/2$ で最大になる。

   $$q=v_f\rho \left(1-\frac{\rho }{{\rho }_j}\right),q_{\max }=\frac{v_f{\rho }_j}{4}$$

4. 区間に入る車と出る車の差だけ、区間の中の台数が増える。車は途中で消えない。

   $$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial q}{\partial x}=0$$

5. 流量が密度で決まる $q=Q(\rho )$ とすると、4 は次の形になる。密度の形は速さ $c=Q^{\prime }(\rho )$ で道路を進む。

   $$\frac{\partial \rho }{\partial t}+Q^{\prime }(\rho )\frac{\partial \rho }{\partial x}=0$$

6. 3 の場合、波の速さは車の速さ $v$ より $v_f\rho /{\rho }_j$ だけ遅く、$\rho >{\rho }_j/2$ では負になる。

   $$c=\frac{dq}{d\rho }=v_f\left(1-\frac{2\rho }{{\rho }_j}\right)=v-\frac{v_f\rho }{{\rho }_j}$$

7. 密度がとびとびに変わる境目、たとえば渋滞の最後尾は、両側の流量の差を密度の差で割った速さで動く。

   $$s=\frac{q_2-q_1}{{\rho }_2-{\rho }_1}$$

グリーンシールズ自身の当てはめでは、2 車線の道路で、空いているときの速さが時速 43.8 マイル(約 70 km)、速さが 0 になる密度が 1 マイルあたり約 198 台(1 km あたり約 123 台)だった。3 の式に入れると最大の流量は 1 時間に約 2170 台で、論文が書いた「最大の容量は約 2200 台/時」と合う。

6 は、車がいつも密度の波を後ろから追い越していくことを表す。車は混んだ区間を通り抜けて前へ出ていく。密度が ${\rho }_j/2$ を越えた区間では、混んだ形そのものは後ろへ下がる。

7 の式で渋滞の端の速さを見積もる。数値は例である。1 km に 20 台が時速 90 km で来る流れ(流量 1800 台/時)が、1 km に 140 台が詰まってほとんど止まった固まり(流量ほぼ 0)にぶつかると、最後尾は $s=(0-1800)/(140-20)=-15$、つまり時速 15 km で後ろへ下がる。先頭からは 1 km に 25 台が時速 80 km で出ていく(流量 2000 台/時)とすると、先頭も $s=(2000-0)/(25-140)\approx -17$ で、時速約 17 km で後ろへ下がる。両端が同じ向きに進むので、渋滞の固まりは形を保ったまま後ろへ流れていく。杉山らが円の上で見た時速約 20 km と同じ大きさである。

2 の式は、ひとりひとりの運転を平均した形である。渋滞がどう生まれるかを見るには、車を 1 台ずつ動かす模型がいる。1992 年、カイ・ナーゲルとミヒャエル・シュレッケンベルクは、道路をマスに区切り、車を簡単な規則で動かすセルオートマトンを示した。1 マスは渋滞で詰まった車 1 台分の 7.5 m、1 段は約 1 秒とみなすのがふつうで、最高速度 $v_{\max }$ は 5 マス/段(時速 135 km)とすることが多い。$d$ は前の車までの空きマスの数である。すべての車に、同時に次の 4 つを当てはめる。

1. 加速する。

   $$v\leftarrow \min (v+1,v_{\max })$$

2. 前の車にぶつからないよう減速する。

   $$v\leftarrow \min (v,d)$$

3. 確率 $p$ で、理由なく 1 だけ減速する。

   $$v\leftarrow \max (v-1,0)$$

4. $v$ マス進む。

   $$x\leftarrow x+v$$

規則 3 が無い($p=0$)と、密度が 1 マスあたり $1/(v_{\max }+1)=1/6$(1 km あたり約 22 台)までは、全員が最高速度で走り続ける。規則 3 は、坂や天気といった道路の条件や、空いた道でも速さがふらつく運転者の心理を、1 つの確率にまとめたものである。ケルン大学のアンドレアス・シャドシュナイダーは、この減速がブレーキの踏みすぎを持ち込み、渋滞が自然に生まれるために欠かせないと書いている。次の段の状態は今の状態と乱数だけで決まるので、この模型はマルコフ連鎖の一種である。