ナビエ・ストークス方程式

式を導くのは、流体の小さな塊にニュートンの運動方程式を当てはめることである。難しいのは、導いた式の解がいつまでも続くかどうかのほうである。密度 $\rho$ が一定の流体を考える。

1. 質量の保存。密度が変わらない流体では、小さな箱に入る量と出る量が等しい。

   $$\nabla \cdot \mathbf{u}=\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}=0$$

2. 流体の塊は流れに乗って動く。塊の加速度は、その場での変化と、移動して場所が変わることによる変化の和になる。

   $$\frac{D\mathbf{u}}{Dt}=\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}$$

3. 塊に運動方程式を当てはめる。$\mathbf{\sigma }$ は塊の面にかかる力(応力)、$\mathbf{f}$ は重力などの外からの力。

   $$\rho \frac{D\mathbf{u}}{Dt}=\nabla \cdot \mathbf{\sigma }+\mathbf{f}$$

4. 水や空気のような流体では、応力は圧力と、ずれの速さに比例する粘性の力の和である。比例の係数 $\mu$ が粘性係数。

   $${\sigma }_{ij}=-p{\delta }_{ij}+\mu (\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i})$$

5. 発散をとる。1 より ${\partial }_j{\partial }_i{u}_j={\partial }_i(\nabla \cdot \mathbf{u})=0$ なので、粘性の項は $\mu {\nabla }^2\mathbf{u}$ だけが残る。

   $$\nabla \cdot \mathbf{\sigma }=-\nabla p+\mu {\nabla }^2\mathbf{u}$$

6. 3 に入れると、ナビエ・ストークス方程式になる。

   $$\rho (\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u})=-\nabla p+\mu {\nabla }^2\mathbf{u}+\mathbf{f}$$

7. 外からの力が無いとき、6 の両辺と $\mathbf{u}$ の内積をとって空間全体で積分する。圧力の項と $(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}$ の項は 1 によって消え、運動エネルギーは粘性で減り続ける($\nu =\mu /\rho$)。

   $$\frac{d}{dt}\int \frac{|\mathbf{u}{|}^2}{2}dx=-\nu \int |\nabla \mathbf{u}{|}^{2}dx\le 0$$

8. 解 $\mathbf{u}$ を縮めた ${\mathbf{u}}_{\lambda }(x,t)=\lambda \mathbf{u}(\lambda x,{\lambda }^{2}t)$ も同じ式の解になる。3 次元では、そのエネルギーは $1/\lambda$ 倍になる。

   $$\int |{\mathbf{u}}_{\lambda }{|}^{2}dx={\lambda }^{2-3}\int |\mathbf{u}{|}^{2}dy=\frac{1}{\lambda }\int |\mathbf{u}{|}^{2}dy$$

8 は、小さな場所に速い流れが集まっても、全体のエネルギーはほとんど増えないことを意味する。7 で分かるのはエネルギーが増えないことだけなので、それだけでは、流れが 1 点に縮んで速さが限りなく大きくなるのを止められない。2 次元では指数が $2-2=0$ になり、エネルギーは縮めても変わらない。このため 2 次元では、なめらかな解がいつまでも続くことが証明されている。2016 年、テレンス・タオは、非線形の項を平均した形に変えた似た式では、有限の時間で解が爆発することを示した。エネルギーの性質だけを使う証明では足りない、ということである。3 次元で外からの力が無い場合の完全な証明は、まだ誰も持っていない。

一方、式そのものの正しさは実験で確かめられてきた。細い管の流れの厳密な解(ハーゲン・ポアズイユの式)は、1840 年前後のハーゲンとポアズイユの測定と合い、ストークスの抵抗の式は霧や油滴の落ちる速さと合う。いまでは風洞の測定と計算機の解が、翼のまわりの圧力の分布まで比べられている。