ローレンツ・アトラクター

この証明の道すじ。 式を言葉に直す。数を入れて1歩ずつ足し（手順1〜5）、差の開き方を数で見る。止まる点を解き（手順6〜11）、原点と渦の境目の$\rho$を求め（手順12〜24）、体積が縮むことと証明の難しさにふれる。

式の文字を読む

文字の上の点はドットと読み、$\dot{x}$は「$x$の変わる速さ」を表す。$x$、$y$、$z$はどれも時間$t$とともに変わる数で、3つそろうと、ある瞬間の対流のようすが決まる。3つを座標とみれば対流は空間の1点になり、その点が動いて描く線を軌跡という。

$x$は対流の強さで、符号が変わると回る向きが逆になる。$y$は上がる流れと下がる流れの温度差で、$x$と同じ符号なら温かい流体が上がり、冷たい流体が下がる。$z$は上下の温度分布が直線からどれだけずれたかを表し、正なら上下の面の近くで温度の変わり方が急になる。

$\sigma$（シグマ）はプラントル数で、流体の粘りと熱の伝わりやすさの比である。$\rho$（ロー）は温度差の強さで、対流が始まる境目の何倍かを表す。$\beta$（ベータ）は、回る流れ1つぶん（対流セル）の横と高さの比で決まる。ローレンツはサルツマンにならって$\sigma =10$、$\beta =\frac{8}{3}$と置き、$\rho$は後で求める境目24.74を少し超えた28を選んだ。論文では$\rho$を$r$、$\beta$を$b$と書いている。

速さが分かれば、次の値が分かる。増える分は速さ×時間の刻みなので、今の値に足せばよい。

3本の式を読むと、押し合いが見えてくる。1行目は$y$が$x$より大きいと$x$が増えるので、$x$は$y$を追いかける。2行目の$x(\rho -z)$は$x$が$y$を押す項で、$z$が大きいほど押す力は弱まる。3行目では$x$と$y$の積が$z$を増やし、$\beta z$が減らす。

$x$と$y$が強め合い、強まると$z$がふくらんでブレーキをかける。$xz$や$xy$のように文字どうしの積を含むので、この式を非線形という。

図で納得する

この3本には、$x$を時間の式で書く公式が知られていない。だから、速さ×刻みを1歩ずつ足す（オイラー法）。ローレンツと同じく、初めの値（初期値）を$(x,y,z)=(0,1,0)$、刻みを0.01とする。

1. 今の値を3本の式に入れて、速さを出す

   $$\begin{array}{rl}\dot{x}& =10(1-0)=10\\ \dot{y}& =0\times 28-1=-1\\ \dot{z}& =0\times 1-\frac{8}{3}\times 0=0\end{array}$$

2. 速さ×0.01を足す。これが1歩目の値になる

   $$\begin{array}{rl}x& =0+10\times 0.01=0.1\\ y& =1-1\times 0.01=0.99\\ z& =0\end{array}$$

3. 1歩目の値で、速さを出し直す

   $$\begin{array}{rl}\dot{x}& =10(0.99-0.1)=8.9\\ \dot{y}& =0.1\times 28-0.99=1.81\\ \dot{z}& =0.1\times 0.99-0=0.099\end{array}$$

4. また足す。これが2歩目の値になる

   $$\begin{array}{rl}x& =0.1+0.089=0.189\\ y& =0.99+0.0181=1.0081\\ z& =0+0.00099=0.00099\end{array}$$

5. 速さ8.191、4.2837、0.18789で同じことをする。これが3歩目の値になる

   $$\begin{array}{rl}x& \approx 0.27091\\ y& \approx 1.05094\\ z& \approx 0.00287\end{array}$$

ボタンを3回押すと、手順5の値が読み出しに出る。100歩ずつ進めると、$z$が一気に伸びてから片側の渦へ回り込む。

実線はこのオイラー法で、破線はローレンツの方法だ。ローレンツは1歩を2回見積もって平均した。論文の表の35歩目は$x=15.0$、$y=26.8$、$z=20.1$である。

表は値を10倍して小数を切り捨てた数で、破線の計算の15.061、26.901、20.196なら15.0、26.9、20.1になる。$y$は最後の桁が1違うが、表の99個の値を照らしても、こうした1の違いは12個で、計算機の桁数の差とみられる。

オイラー法の35歩目は$x=13.18$、$z=14.28$で、遅れが目に見える。そのためこの先の数は、4回見積もるルンゲ・クッタ法を刻み0.005で解いた値である。

コーヒーの実験と同じことを、この3本で試せる。$(0,1,0)$から時刻25まで進むと$(7.077739,-1.548364,34.265492)$になる。これを小数第3位に丸めて、$(7.078,-1.548,34.265)$からもう一度解く。3つの数のずれを空間の距離で測ると、差はわずか0.00067だ。

それでも時間が5.8進むと差は1を超え、7.5で10を超える。ただ、式にも計算にも偶然は入っていない。同じ数から解けば、何度でも同じ答えになる。この性質を決定論的という。

では、さいころと何が違うのか。

さいころは毎回新しく決まる。式のほうは初めの値で全部決まっている。それなのに先が読めないのは、初めの値を有限の桁でしか知りようがないからで、これをカオスと呼ぶ。

開き方には目安がある。長い軌跡で平均すると、差は時間が1進むごとに約2.46倍になる。$e$は約2.718の定数で、2.46は$e^{0.9}$の値にあたるので、時間$t$のあいだの倍率は$e^{0.9t}$と書ける。

$$\text{差}\approx \text{初めの差}\times e^{0.9t}$$

この0.9をリアプノフ指数といい、差が開く速さを表す。ロジスティック写像の$r=4$では、1回の繰り返しあたりで同じ量が約0.69になる。

縦の目盛りは1つ上がるごとに1万倍で、倍々に増えるものはこの目盛りだと直線になる。太い線が実際の差で、破線が$e^{0.9t}$の直線である。太い線が波打つのは開き方が場所によって違うからで、一時的に縮む所さえある。

平均すると、ずれを1桁小さくしても、差が1に届く時刻は約2.6しか遅れない。

式で確かめる

止まる点から解く。3つの速さがすべて0なら、その値のまま動かない。

6. 1行目を0と置く。$\sigma$は0でないので$y=x$である

   $$\sigma (y-x)=0$$

7. 3行目を0と置き、$y=x$を入れる

   $$x^2=\beta z$$

8. 2行目を0と置き、$y=x$を入れて$x$でくくる

   $$x(\rho -1-z)=0$$

9. $x=0$なら、手順6と7から$y=z=0$である。対流がない状態を表す

   $$(x,y,z)=(0,0,0)$$

10. $x$が0でなければ$z=\rho -1$で、手順7に入れる

    $$x=y=\pm \sqrt{\beta (\rho -1)}$$

11. $\rho =28$を入れる。$\frac{8}{3}\times 27=72$である

    $$\begin{array}{rl}x=y& =\pm \sqrt{72}\approx \pm 8.49\\ z& =27\end{array}$$

この2点を$C_{+}$、$C_{-}$と呼ぶ。論文には$(6\sqrt{2},6\sqrt{2},27)$と書かれていて、2点のまわりの渦が蝶の2枚の羽にあたる。$\rho \le 1$では根号の中が0以下になり、止まる点は原点だけになる。

ただし止まる点があっても、近くから離れていくなら、そこには留まらない。

原点の近くでは$z$がほぼ0なので、$\dot{x}=\sigma (y-x)$、$\dot{y}=\rho x-y$と読める。$y$が$x$の$k$倍のまま、どちらも速さが今の値の$\lambda$（ラムダ）倍になる形を探す。

12. $y=kx$、$\dot{x}=\lambda x$を1本目に入れて、$x$で割る

    $$\lambda =\sigma (k-1)$$

13. $y$は$x$の$k$倍なので$\dot{y}=k\dot{x}=\lambda kx$である。2本目に入れて、$x$で割る

    $$\lambda k=\rho -k$$

14. 手順12を手順13に入れて、片側にまとめる

    $$\sigma k^2+(1-\sigma )k-\rho =0$$

15. $\sigma =10$、$\rho =1$なら因数分解できて、$k=1$、$\lambda =0$になる

    $$\begin{array}{rl}& 10k^2-9k-1\\ & =(k-1)(10k+1)\end{array}$$

16. $\rho =28$なら$10k^2-9k-28=0$で、解の公式の正のほうの解は$k\approx 2.18$である。手順12に入れる

    $$\lambda \approx 10(2.18-1)\approx 11.8$$

$\lambda$が正なら外へ伸び、負なら原点へ縮む。$\rho =0.5$では$\lambda \approx -0.48$である。境目の$\rho =1$は、レイリーが求めた対流の始まる条件と一致する。

$C_{+}$の近くはどうか。$q=\sqrt{\beta (\rho -1)}$として、$x=q+u$、$y=q+v$、$z=\rho -1+w$と置く。$u$、$v$、$w$は$C_{+}$からのずれである。

3本の式に入れて整理し、ずれどうしの積（$uv$と$uw$）はごく小さいので捨てる。たとえば2本目は$(q+u)(1-w)-(q+v)$を開いて、$uw$を捨てたものである。

$$\begin{array}{rl}\dot{u}& =\sigma (v-u)\\ \dot{v}& =u-v-qw\\ \dot{w}& =q(u+v)-\beta w\end{array}$$

17. 3つとも速さが今の値の$\lambda$倍になるとし、1本目を$v$について解く

    $$v=\frac{\lambda +\sigma }{\sigma }u$$

18. 3本目を$w$について解く

    $$w=\frac{q(u+v)}{\lambda +\beta }$$

19. 2本目の$\lambda v=u-v-qw$に手順17と18を入れる。$u$で割り、$\sigma$を掛けて、$\lambda$を左へまとめる

    $$\lambda (\lambda +\sigma +1)=-\frac{q^2(\lambda +2\sigma )}{\lambda +\beta }$$

20. 分母を払って開き、$q^2=\beta (\rho -1)$を使う。論文の式（33）になる

    $$\begin{array}{rl}& {\lambda }^3+A{\lambda }^2+B\lambda +C=0\\ & A=\sigma +\beta +1\\ & B=\beta (\sigma +\rho )\\ & C=2\sigma \beta (\rho -1)\end{array}$$

21. $C=AB$のとき、左辺は因数分解できる。$\lambda$の実数の部分が正なら渦は広がり、負なら縮む。2乗して負になる$\lambda$は実数の部分が0なので、$C=AB$がちょうど境目になる

    $$(\lambda +A)({\lambda }^2+B)=0$$

22. 3つの数を入れて、$C=AB$を書く

    $$\begin{array}{rl}& \frac{41}{3}\times \frac{8}{3}(10+\rho )\\ & =\frac{160}{3}(\rho -1)\end{array}$$

23. 両辺に$\frac{9}{8}$を掛ける

    $$41(10+\rho )=60(\rho -1)$$

24. $\rho$について解く

    $$\rho =\frac{470}{19}\approx 24.74$$

計算で渦の幅を測ると、境目がそのまま見える。止まる点から0.3ずらして始めると、$\rho =24$では幅が0へ縮み、25では広がり、24.74ではほぼ変わらない。

破線は止まる点の高さである。$\rho <1$では原点へ落ち着く。$1<\rho <24.74$では$C_{+}$と$C_{-}$が安定で、近くから始めるとそこへ戻ってくる。$(1,1,1)$から解くと、$\rho =23.5$までは片方の羽に落ち着く。

ところが$\rho =24$と24.5では、$C_{+}$のすぐ近くから始めれば落ち着くのに、$(1,1,1)$からだと時刻300でも羽を渡り続ける。行き先は始まりしだいである。しかも計算で見えるのは有限の時刻までで、$\rho =23.8$では、羽を渡る動きが時刻数千から数万まで続いたあとで落ち着いた。

24.74を超えると、どちらの渦も外へ広がる。$\rho =28$では1周（時間0.62）で約1.06倍とゆっくり広がり、やがて反対の羽へはじき出される。それでも軌跡は遠くへ飛んでいかない。論文は、ある範囲の外へ出ないことも示している。

軌跡はその範囲の中のどこに集まるのだろうか。入り口は3本の式の係数にある。$\dot{x}$の式で$x$にかかる係数は$-\sigma$、$\dot{y}$で$y$には$-1$、$\dot{z}$で$z$には$-\beta$である。

小さな箱を思い浮かべると、この3つが$x$、$y$、$z$の向きの辺の縮み方を決める。ほかの項は箱を傾けるだけで、体積を変えない。体積は3辺の掛け算なので、縮み方のほうは足し算になる。

$$-\sigma -1-\beta =-\frac{41}{3}\approx -13.67$$

どの場所でも同じこの数が、体積の縮み方を決める。時間が1進むと体積は$e^{-13.67}$倍、約100万分の1になる。論文は渦の1周を時間0.7と見て、1周で0.00007倍と計算している。

体積が縮むのに軌跡は広がる。つまり、ある向きに伸ばされ、別の向きに押しつぶされて、薄い面になって折りたたまれている。

ローレンツは「面の無限の重なり」と書いた。今でいうフラクタルで、マンデルブロ集合と同じく細かく見ても構造が尽きない。リアプノフ指数から見積もる次元は約2.06で、面の2次元よりわずかに厚い。

もっとも、ここまでの多くは数値計算の観察である。ローレンツ自身も、数学的に証明されたとは見なせないと書いた。カオスは計算機の丸め誤差まで拡大するので、軌跡を追うだけでは証明にならない。

1998年、スティーヴン・スメールは21世紀に向けた問題の第14問に、この式の動きが数学者の作った幾何学的な模型と同じなのかを挙げた。薄い面が重なったこの形（ストレンジ・アトラクター）が本当にあるのかを問う問題である。

解いたのはコーネル大学のウォーリック・タッカーで、2002年の論文である。丸め誤差ごと数を区間で包む計算（区間演算）に、式を簡単な形に直す理論を組み合わせて示した答えは「同じ」だった。論文は65ページあり、手でたどれる証明ではない。丸めで始まった話は、丸めを封じ込めた計算で決着した。