ロジスティック写像

$f(x)=rx(1-x)$、$0\le x\le 1$、$0<r\le 4$ とする。$x$ が変わらない点(不動点)と、その安定さを調べる。

1. 不動点は $x=f(x)$ の解である。$x=rx(1-x)$ を解くと

   $$x^{\ast }=0\text{または}{x}^{\ast }=1-\frac{1}{r}$$

2. 不動点の近くで $x_n=x^{\ast }+{\epsilon }_n$ と置き、1 次の項だけを残すと、ずれは毎回 $f^{\prime }(x^{\ast })$ 倍になる。

   $${\epsilon }_{n+1}\approx f^{\prime }(x^{\ast }){\epsilon }_n,f^{\prime }(x)=r(1-2x)$$

3. $x^{\ast }=1-1/r$ では $f^{\prime }(x^{\ast })=2-r$ である。ずれが縮むのは $|2-r|<1$ のときだから、 $1<r<3$ の範囲で、$x$ は $1-1/r$ に落ち着く。

4. $r=3$ で $f^{\prime }(x^{\ast })=-1$ になる。ずれは縮まずに符号だけを変え、2 つの値を交互に取る動きが生まれる。2 回後に戻る点は $f(f(x))=x$ の解から不動点を除いたもので、

   $$r^2{x}^2-r(r+1)x+(r+1)=0$$

5. 2 つの解 $p,q$ は $p+q=(r+1)/r$、$pq=(r+1)/r^2$ を満たす。往復が安定かどうかは、2 回分の倍率 $f^{\prime }(p)f^{\prime }(q)=r^2(1-2p)(1-2q)$ で決まる。展開して代入すると

   $$f^{\prime }(p)f^{\prime }(q)=-r^2+2r+4$$

6. この値の大きさが 1 より小さいのは $3<r<1+\sqrt{6}\approx 3.449$ のときである。その先では往復も不安定になり、4 つの値の周期が生まれる。分かれ目の $r$ を $r_1=3$、$r_2=1+\sqrt{6}$、$r_3\approx 3.5441$、… と並べると、間隔の比は一定の値に近づく。

   $$\delta =\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{r_k-r_{k-1}}{r_{k+1}-r_k}=4.6692016\dots$$

7. 分かれ目は $r_{\infty }\approx 3.5699$ に集まり、その先にカオスの領域が広がる。いちばん端の $r=4$ では式が解ける。$x_n={\sin }^2(\pi {\theta }_n)$ と置くと、倍角の公式から

   $$x_{n+1}=4{\sin }^2(\pi {\theta }_n){\cos }^2(\pi {\theta }_n)={\sin }^2(2\pi {\theta }_n)$$

8. つまり $\theta$ は毎回 2 倍になる(${\theta }_{n+1}=2{\theta }_n$ を 1 で割った余り)。$\theta$ を 2 進数で書けば、1 回ごとに桁が 1 つ左へずれるだけである。初めの値のずれは毎回約 2 倍に広がり、$10^{-7}$ の差は 20 回ほどで、まったく別の値になる。

   $$|\Delta {\theta }_n|\approx 2^n|\Delta {\theta }_0|$$