マンデルブロ集合

集合に入る $c$ の範囲と、いちばん大きな部分の形を示す。$f_c(z)=z^2+c$ と書く。

1. まず、半径 2 の円の外に出たら戻らないことを示す。$|z|>2$ かつ $|z|\ge |c|$ とすると、三角不等式から

   $$|z^2+c|\ge |z{|}^2-|c|\ge |z{|}^2-|z|=|z|(|z|-1)$$

2. $|z|=2+\epsilon$($\epsilon >0$)なら $|z|-1=1+\epsilon$ なので、1 回ごとに絶対値が少なくとも $1+\epsilon$ 倍になる。

   $$|z_{n+k}|\ge (1+\epsilon {)}^k|z_n|\to \infty$$

3. $|c|>2$ なら $z_1=c$ がすでにこの条件を満たすので、$c$ は集合に入らない。よって集合は半径 2 の円板に収まり、計算では「$|z_n|>2$ になったら外」と判定してよい。

   $$M\subset \{c:|c|\le 2\}$$

4. 次に、最も大きな部分を求める。$z^{\ast }=z^{\ast 2}+c$ となる不動点が、近くの点を引き寄せるのは、倍率 $|f_c^{\prime }(z^{\ast })|=|2z^{\ast }|$ が 1 より小さいときである。$2z^{\ast }=w$($|w|<1$)と置くと

   $$c=z^{\ast }-z^{\ast 2}=\frac{w}{2}-\frac{w^2}{4}$$

5. $w$ が単位円の内側を動くとき、$c$ が埋める領域の縁は $w=e^{i\theta }$ を代入した曲線で、ハートの形をしたカルジオイドである。この内側では、0 から始めた点は不動点に吸い込まれるので、集合に入る。

   $$c(\theta )=\frac{e^{i\theta }}{2}-\frac{e^{2i\theta }}{4}$$

6. 2 回で戻る点は $f_c(f_c(z))=z$ の解から不動点を除いたもので、$z^2+z+c+1=0$ を満たす。2 つの解の積は $c+1$ なので、2 回分の倍率は $f_c^{\prime }(z_1)f_c^{\prime }(z_2)=4z_1{z}_2$ である。これが 1 より小さい範囲は、中心 $-1$、半径 $1/4$ の円板になる。

   $$|4(c+1)|<1⟺|c+1|<\frac{1}{4}$$

カルジオイドと円板は点 $c=-3/4$ で接する。その周りには 3 回・4 回・… で戻る点の円板が無数に付き、さらにその周りにも付く。集合がひと続きであることはドゥアディとハバードが証明した。縁がどこまで細かいかについては、宍倉光広が 1998 年に、縁のハウスドルフ次元が 2(平面と同じ)であることを証明した。縁が「局所連結」かどうかという予想(MLC 予想)は、いまも解かれていない。