dim_{H} K = dim_{M} K = 3 (K \subset R^{3} は掛谷集合)

3次元の掛谷予想

Kakeya set conjecture in three dimensions

内戦のペルミで作った集合が、掛谷の問いに答えた。

3次元の空間で、あらゆる向きの長さ1の線分を含む集合は、体積が0でも次元は3になる。2025年にワンとザールが証明した。

年代: 1917〜2025年
習う: 大3以上・解析・ルベーグ積分
レベル: 大学(例題 5 問)
人物: 掛谷宗一、アブラム・ベシコヴィッチ、オスカー・ペロン、ロイ・デイヴィス、トーマス・ウォルフ、ネッツ・カッツ、イザベラ・ワバ、テレンス・タオ、ホン・ワン、ジョシュア・ザール

数学物理学情報科学

逸話

針を回す広さに下限はない

長さ1の針の向きを、机の上で反対にしたい。それには、ある程度の広さが要りそうに思える。

真ん中を軸に回すと、針は直径1の円を掃き、面積は $π /4 \approx 0.785$ になる。高さ1の正三角形でも向きは反対にでき、面積は $1/ 3 \approx 0.577$ で済む。凸な図形に限れば、これがいちばん小さい。とがった角が3つあるデルトイドの中なら、角に寄せては向きを変える動きを3回くり返して、 $π /8 \approx 0.393$ まで下がる。

それでも、下限は0である。

1917年、東北帝国大学の助教授だった掛谷宗一は、大学の欧文の紀要『Science Reports』に卵形線の最大と最小についての論文を載せ、針を180°回すのに要る最小の面積を問うた。

掛谷宗一の肖像(Sōichi Kakeya, circa 1937) — 掛谷宗一1947年没針を回す広さの問題を出し、統計数理研究所の初代所長を務めた出典: Wikimedia Commons・Unknown photographer・Public domain

大正時代の大学の研究室で、洋装の若い日本人の男性が机に向かい、細長い鉛筆を指でつまんで見つめている。窓の外に瓦屋根の町並みが見える(画像生成 AI で描いたイメージ) — 1917年、東北帝国大学の助教授だった掛谷は、針の向きを反対にする問題を論文に書いた画像生成AIで描いたイメージ

同じころ、ロシアのペルミ大学では、アブラム・ベシコヴィッチが積分の問いを考えていた。平面のリーマン積分可能な関数は、座標軸をうまく選べば、1変数ずつ積分していけるか。1919年、ベシコヴィッチはペルミの物理数学会の雑誌に答えを載せた。答えを支えていたのは、あらゆる向きの線分を含むのに面積が0の集合である。

アブラム・ベシコヴィッチの肖像(画像生成 AI で描いたイメージ) — アブラム・ベシコヴィッチ1891–1970面積がいくらでも小さい、針の向きを反対にできる図形を作った画像生成AIで描いたイメージ

ところが、ロシアは内戦のさなかにあった。ペルミは1918年の暮れに白軍に占領され、翌年に赤軍が取り返す。論文はロシアの外へ届かなかった。ベシコヴィッチは1924年に国境を越えてコペンハーゲンへ渡り、のちにイギリスへ移る。そこで掛谷の問いを知り、1919年の作り方を少し変えれば答えになると気づいた。論文は1928年、ドイツの学術誌『Mathematische Zeitschrift』に載った。

冬の夕方、窓に霜のついた部屋で、外套を着た若い男性が石油ランプの明かりで紙に向かう。窓の外に雪の積もった川沿いの町が見える(画像生成 AI で描いたイメージ) — 1919年、内戦のさなかのペルミで、ベシコヴィッチは積分の問いに答える論文を出した画像生成AIで描いたイメージ

同じ年、オスカー・ペロンが同じ雑誌に、ベシコヴィッチの定理を扱う4ページの論文を載せた。三角形を細く分けて平行移動で重ねていく今の形は、その名から「ペロンの木」と呼ばれる。1971年にはカニンガムが、半径1の円に収まる穴のない図形でも、面積をいくらでも小さくできることを示した。

起源

面積の代わりに次元で測る

面積が0になるなら、集合の大きさは何で測ればよいか。手がかりになるのが次元である。

集合を太さ $δ$ だけ太らせ、その面積や体積が、 $δ$ を小さくしたときにどの速さで減るかを見る。 $n$ 次元の空間で、 $δ$ 近傍 $K_{δ}$ の体積が $∣ K_{δ} ∣ \approx δ^{n - d}$ なら、次元は $d$ と数える。これがミンコフスキー次元で、覆う球の大きさを場所ごとに選べるハウスドルフ次元は、これより大きくならない。

この量に目が向いたのは1971年である。チャールズ・フェファーマンがベシコヴィッチの作り方をフーリエ解析の反例に使い、同じ年にロイ・デイヴィスは、平面の掛谷集合の次元が必ず2になることを証明した。面積は0にできても、次元は下がらない。

そこで、 $n$ 次元の空間でも次元は $n$ になるだろう、という予想が立った。3次元では、1983年に2までが示され、1995年にトーマス・ウォルフが $5/2$ に引き上げた。その先は、2000年にネッツ・カッツとイザベラ・ワバ、テレンス・タオがミンコフスキー次元で $5/2$ を $1 0^{- 10}$ ほど超え、2019年にカッツとジョシュア・ザールがハウスドルフ次元で $5/2$ をわずかに超えただけだった。30年近く、壁はほとんど動かなかった。

2025年2月24日、ニューヨーク大学のホン・ワンと、当時ブリティッシュ・コロンビア大学にいたザールは、127ページの論文をarXivに公開した。3次元のすべての掛谷集合が、ミンコフスキー次元でもハウスドルフ次元でも3になるという証明である。2022年の「くっつく掛谷集合」の論文と、2024年の論文に続く3本目だった。

ホン・ワン21世紀に活躍ザールとともに、3次元の掛谷予想を証明した

ジョシュア・ザール21世紀に活躍ワンとともに、3次元の掛谷予想を証明した

ただし、3本目の原稿は2026年10月の時点でarXivの第1版のままで、学術誌に載ったという記載は無い。前の2本は、すでに『Journal of the American Mathematical Society』と『Inventiones Mathematicae』に載っている。2026年3月にはラリー・ガスがブルバキ・セミナーで証明の全体を解説し、ガスと2人で3本目の証明を49ページに短くした原稿は、『Mathematika』への掲載が決まっている。

2026年7月23日、フィラデルフィアで開かれた国際数学者会議で、ワンはフィールズ賞を受けた。国際数学連合が挙げた授賞の理由には、3次元の掛谷問題が入っている。女性の受賞は、2014年のマリアム・ミルザハニ、2022年のマリナ・ヴィヤゾフスカに続いて3人目である。4次元以上では、予想はまだ解けていない。

証明

細い管の重なりを数える

完全な証明は、3本の論文を合わせて240ページを超える。以下は、2と $5/2$ に届く議論と、ワンとザールの証明の骨組みである。

平面の三角形 $T$ を、頂点と底辺の中点を結ぶ線で2つに分け、片方を平行移動で重ねる。2つの斜辺がつくる中央の三角形が $T$ の $α$ 倍になるまで寄せると、どの辺の向きも変えずに面積が減る。
$∣ S ∣ = (α^{2} + 2 (1 - α)^{2}) ∣ T ∣$

底辺2、高さ1の三角形を半分に分け、左を2/3だけ右へずらす。斜線の部分が重なり、面積は1から2/3に減る。

この操作を、 $2^{k}$ 個に分けた三角形で入れ子にくり返すと、面積はいくらでも小さくなる。その極限として、平面に面積0の掛谷集合 $K$ ができる。区間を掛けると、3次元でも体積0の掛谷集合になる。向きが $(v_{1}, v_{2}, v_{3})$ の線分は、平面で向きが $(v_{1}, v_{2})$ の線分の真上に立てればよい。
$∣ K \times [- 1, 1] ∣ = 2 ∣ K ∣ = 0$
そこで、線分を太さ $δ$ の管に太らせる。3次元で向きを $δ$ ずつずらして選ぶと、管はおよそ $δ^{- 2}$ 本で、1本の体積は $δ^{2}$ ほど、体積の和はおよそ1になる。重なりの度合いを、1点を通る管の平均の本数 $μ$ で表す。どんな $ε > 0$ についても $μ ≲ δ^{- ε}$ が示せれば、 $∣ K_{δ} ∣ ≳ δ^{ε}$ となり、次元は3になる。
$μ = \frac{\sum _{T} ∣ T ∣}{⋃ _{T} T}, ∣ K_{δ} ∣ \geq T ⋃ T \approx \frac{1}{μ}$
2本の管が角度 $θ$ で交わると、重なりは長さ $δ / θ$ ほどの部分に限られる。平面では、この評価を全部の組について足すと $μ ≲ lo g (1/ δ)$ となり、次元は2になる。計算は途中の計算の章で追う。
$∣ T \cap T^{'} ∣ ≲ \frac{δ ^{n}}{δ + θ}$
3次元では、管がほぼ縦を向くように座標をとり、離れた2つの高さの水平な面で切る。切り口の面積を高さについて平均すると $∣ E ∣$ ほどなので、どちらの面積も $∣ E ∣$ の数倍に収まる高さを選べる。管は、下の切り口と上の切り口の点を選べば決まる。どちらの切り口でも、 $δ$ ずつ離れた点はおよそ $δ^{- 2} ∣ E ∣$ 個しかとれない。管の本数は組の数を超えないので、 $∣ E ∣ ≳ δ$ となり、次元は2以上になる。
$δ^{- 2} ≲ (δ^{- 2} ∣ E ∣)^{2}$

下と上の2つの面で切ると、1本の管は、下の点と上の点を選べば決まる。違う管が同じ2点を通ることは、ほとんどない。

1995年、ウォルフは1本の管と交わる管だけを集めた「ヘアブラシ」を考えた。交わる管は、軸の管を含むいくつもの平面に分かれ、同じ平面の中では手順4によってほとんど重ならない。体積を2通りに数えて比べると、 $∣ E ∣ ≳ δ^{1/2}$ となり、次元は $5/2$ 以上になる。
$μ ≲ (δ^{- 2})^{1/4} = δ^{- 1/2}$
しかし、複素数の3次元の空間には、管が凸な領域に固まらないという条件を満たしたまま、手順6の指数 $1/4$ にちょうど届く並べ方がある。2000年にカッツ、ワバ、タオが示したハイゼンベルク群の例である。実数と複素数を区別しない議論では、 $5/2$ を越えられない。証明では、実数だけがもつ性質として、ブルガンが2003年に示した離散化した和と積の定理を使う。 $0 < s < 1$ とし、 $[0, 1]$ の中の集合 $A$ が、どの区間にも偏らずに $δ$ の目で $δ^{- s}$ 個ほどの点に見えるなら、次の式が成り立つ。
$∣ A + A ∣_{δ} + ∣ A \cdot A ∣_{δ} ≳ δ^{- s - ε (s)}$
ワンとザールは、凸な領域に固まらない管の集まり $T$ で $μ ⪅ ∣ T ∣^{b}$ がつねに成り立つ指数 $b$ の下限を $β$ とおき、 $β > 0$ と仮定した。2025年の論文で示したのは、いちばん重なる管の集まりが、多くの尺度で、太い管の中に細い管がまとまる「くっつく」形になることである。くっつく形からは、管の束が薄い板の層に並ぶ構造と、複素共役に似た構造が出てくる。こちらはカッツ、ワバ、タオの研究と2022年の論文による。そこから和と積でほぼ閉じた集合が作れてしまい、手順7の定理に反する。
$β = in f {b : μ (T) ⪅ ∣ T ∣^{b}} = 0$
よって、管が凸な領域に固まらないかぎり、 $μ$ は $δ$ のどんな小さな負の累乗よりもゆっくりとしか増えない。管の一部 $Y (T)$ だけを使っても同じ形の不等式が成り立つので、ハウスドルフ次元も3になる。
$T ⋃ Y (T) \geq δ^{ε} λ^{C} T \sum ∣ T ∣, ∣ Y (T) ∣ \geq λ ∣ T ∣$

途中の計算

平面の管を手で数える

平面の掛谷集合 $K$ から、向きが $δ$ ずつ違う線分を $N = 1/ δ$ 本選び、長さ1、幅 $δ$ の長方形の管に太らせる。 $j$ 本目の向きは $j δ$ で、角の差は1ラジアン以下になる。全部の向きは、この扇形を回せばそろう。管を合わせた図形 $E$ の面積を、1977年のコルドバの議論で下から押さえる。

管の面積を足す
$j = 1 \sum N ∣ T_{j} ∣ = N δ = 1$
2本の重なりを角度で押さえる
$∣ T_{i} \cap T_{j} ∣ \leq \frac{δ ^{2}}{sin ( ∣ i - j ∣ δ )} \leq \frac{π δ}{2∣ i - j ∣}$

差 $k = ∣ i - j ∣$ ごとに組を数える
$i, j \sum ∣ T_{i} \cap T_{j} ∣ \leq N δ + 2 N k = 1 \sum N - 1 \frac{π δ}{2 k}$
$N δ = 1$ を使う
$i, j \sum ∣ T_{i} \cap T_{j} ∣ \leq 1 + π k = 1 \sum N - 1 \frac{1}{k}$
調和級数を対数で押さえる
$k = 1 \sum N - 1 \frac{1}{k} \leq 1 + lo g \frac{1}{δ}$
重なりの和を積分で書き直す
$i, j \sum ∣ T_{i} \cap T_{j} ∣ = \int (j \sum 1_{T_{j}})^{2} d x$
コーシー＝シュワルツの不等式を使う
$1 = \int_{E} j \sum 1_{T_{j}} d x \leq ∣ E ∣^{1/2} (\int (j \sum 1_{T_{j}})^{2} d x)^{1/2}$
2乗して $∣ E ∣$ について解く
$∣ E ∣ \geq \frac{1}{1 + π ( 1 + lo g ( 1/ δ ) )}$
半径 $δ$ の円で覆う個数 $M (δ)$ に直す
$M (δ) \geq \frac{∣ K _{δ} ∣}{4 π δ ^{2}} \geq \frac{∣ E ∣}{4 π δ ^{2}}$
対数をとって $δ \to 0$ とする
$δ \to 0 lim inf \frac{lo g M ( δ )}{lo g ( 1/ δ )} \geq 2$

一方、平面の集合の次元は2を超えないので、ミンコフスキー次元はちょうど2である。 $δ = 0.01$ なら、手順8の右辺は約0.054になる。100本の管の面積は合わせて1あり、どう重ねても0.054より小さくはならない。タオの総説によると、この対数の因子はこれ以上よくならないことを、カイヒが示している。

応用

1万本の管と、円で切った周波数

3次元で $δ = 0.01$ とすると、向きを0.01ラジアンずつ変えた管は、定数倍を除いて1万本になる。体積の和は1である。手順5の切り口の議論で保証できるのは、重なりで減っても体積が定数倍を除いて0.01より大きいことだけだった。ウォルフの評価なら0.1まで上がる。一方、ワンとザールの定理は、どんな $ε$ についても $δ^{ε}$ 倍の違いを除いて、体積が和の1と変わらないことを保証する。管は、ほとんど重ならない。

この「重ならなさ」は、フーリエ解析の計算でそのまま効く。画像のような2変数の関数を、フーリエ級数を連続の周波数に広げたフーリエ変換で周波数に分け、半径 $R$ の円の内側だけを残して戻す操作を考える。2乗の積分で大きさを測るなら、この操作で関数が大きくなることはない。ところが1971年のフェファーマンの定理によると、2次元以上では、 $p \neq = 2$ の $L^{p}$ ノルムで測ったとき、操作の前と後の比に上限が無い。反例は、ベシコヴィッチの作り方で並べた細い管に、波の束をのせて作る。

円の縁をなめらかにして $(1 - ∣ ξ ∣^{2} / R^{2})^{ε}$ を掛けるボホナー＝リースの平均なら、予想される範囲の $L^{p}$ で、どの $ε > 0$ でも収束するか。2次元ではカールソンとシェーリンが1972年に解いたが、3次元以上ではいまも予想のままである。この予想が正しければ、掛谷予想も正しいことが分かっている。

例題と解説

三角形とデルトイドと有限の平面

例題 1基本針の向きを反対にできる正三角形

（1）高さ1の正三角形について、1辺の長さと面積を求めよ。

（2）その面積は、直径1の円の面積の何倍か。小数第2位まで求めよ。

解説を見る

（1）1辺を $a$ とすると、高さは $\frac{3}{2} a = 1$ である。

a = \frac{2}{3} \approx 1.155, \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \approx 0.577

（2）円の面積は $π /4 \approx 0.785$ である。

\frac{1/ 3}{π /4} = \frac{4}{3 π} \approx 0.74

例題 2入試半分に分けてずらす

底辺の長さ2、高さ1の二等辺三角形を、頂点から底辺に下ろした垂線で2つの直角三角形に分け、左の三角形を右へ $s$ （ $0 \leq s \leq 1$ ）だけ平行移動する。

（1）2つの三角形を合わせた図形の面積 $S (s)$ を、 $s$ の式で表せ。

（2） $S (s)$ の最小値と、そのときの $s$ を求めよ。

解説を見る

（1）底辺から高さ $y$ の水平な直線で切り、 $u = 1 - y$ とおく。右の三角形の切り口は $[0, u]$ 、ずらした左の三角形の切り口は $[s - u, s]$ である。合わせた切り口の長さは、 $u$ の範囲で次のように変わる。

ℓ (u) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 u s 2 u - s (0 \leq u < s /2) (s /2 \leq u \leq s) (s < u \leq 1)

$u$ について0から1まで積分する。

S (s) = \frac{s ^{2}}{4} + \frac{s ^{2}}{2} + (1 - s) = 1 - s + \frac{3}{4} s^{2}

（2）微分して0とおく。

S^{'} (s) = - 1 + \frac{3}{2} s = 0, s = \frac{2}{3}

$S^{''} (s) = 3/2 > 0$ なので、ここで最小になる。

S (\frac{2}{3}) = 1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{3}

面積は元の3分の2まで減り、辺の向きは平行移動で変わらない。証明の手順1で $α = 2/3$ とした場合にあたる。

例題 3難関カントール集合の次元

区間 $[0, 1]$ から、真ん中にある長さ3分の1の開区間を除き、残った区間それぞれから真ん中の3分の1を除く操作を限りなく続けた集合を $C$ とする。

（1）長さ $3^{- k}$ の区間 $2^{k}$ 個で $C$ を覆えることを示せ。また、長さ $3^{- k}$ の区間で覆うには少なくとも $2^{k - 1}$ 個が要ることを示せ。

（2） $C$ を覆うのに要る長さ $3^{- k}$ の区間の最小の個数を $N_{k}$ とする。 $lo g N_{k} / lo g 3^{k}$ の $k \to \infty$ での極限を求めよ。この値が $C$ のミンコフスキー次元である。

解説を見る

（1） $k$ 回目の操作のあとに残る区間は $2^{k}$ 個で、どれも長さ $3^{- k}$ である。 $C$ はこの中に含まれるので、 $2^{k}$ 個で覆える。 $k$ 回目に残る区間どうしの隙間は、どれも $3^{- k}$ 以上ある。長さ $3^{- k}$ の区間が3つの区間と交わるには、真ん中の区間を丸ごと含み、さらに両側の隙間を越えなければならず、長さが足りない。よって1つの区間が交わる残りの区間は2つまでで、残った区間はどれも $C$ の点を含むから、少なくとも $2^{k} /2 = 2^{k - 1}$ 個が要る。

（2）（1）から $N_{k}$ は $2^{k - 1}$ 以上 $2^{k}$ 以下なので、はさみうちで極限が決まる。

\frac{lo g 2 ^{k - 1}}{lo g 3 ^{k}} \leq \frac{lo g N _{k}}{lo g 3 ^{k}} \leq \frac{lo g 2 ^{k}}{lo g 3 ^{k}} ⟶ \frac{lo g 2}{lo g 3} \approx 0.631

長さは0でも、次元は0.631になる。

例題 4大学デルトイドの中の針

$r > 0$ とし、複素平面の曲線 $z (t) = 2 r e^{i t} + r e^{- 2 i t}$ （ $0 \leq t \leq 2 π$ ）をデルトイドとする。

（1） $z (φ) - z (φ + π) = 4 r e^{i φ}$ を示せ。

（2）曲線が囲む面積を $\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} Im (z (t) z^{'} (t)) d t$ で求めよ。

（3）針の長さを1にするとき、デルトイドの面積を求めよ。

解説を見る

（1） $e^{i (φ + π)} = - e^{i φ}$ 、 $e^{- 2 i (φ + π)} = e^{- 2 i φ}$ を使う。

z (φ) - z (φ + π) = (2 r e^{i φ} + r e^{- 2 i φ}) - (- 2 r e^{i φ} + r e^{- 2 i φ}) = 4 r e^{i φ}

両端が曲線の上にある長さ $4 r$ の線分で、向きは $e^{i φ}$ である。 $φ$ を0から $π$ まで動かすと、両端が入れ替わり、向きが反対になる。

（2） $z^{'} (t) = 2 i r e^{i t} - 2 i r e^{- 2 i t}$ を掛けて整理する。

z (t) z^{'} (t) = 2 i r^{2} (1 + e^{3 i t} - 2 e^{- 3 i t})

虚部は $2 r^{2} (1 - cos 3 t)$ なので、面積は次のとおりである。

\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 2 r^{2} (1 - cos 3 t) d t = 2 π r^{2}

（3） $4 r = 1$ から $r = 1/4$ である。

2 π (\frac{1}{4})^{2} = \frac{π}{8} \approx 0.393

例題 5大学有限の平面の掛谷集合

素数 $q$ について、 $F_{q}$ を $q$ 個の元からなる体とする。平面 $F_{q}^{2}$ の直線は ${a + t v : t \in F_{q}}$ （ $v \neq = 0$ ）で、向きは $q + 1$ 通りある。どの向きの直線も1本は含む集合 $K$ を、掛谷集合という。

（1） $∣ K ∣ \geq q (q + 1) /2$ を示せ。

（2） $q = 3$ のとき、（1）の下限を求め、平面の9点のうち何%にあたるかを答えよ。

解説を見る

（1）向きの違う直線 $L_{1}, \dots, L_{q + 1}$ を $K$ から1本ずつ選ぶ。向きの違う2本の直線は、ちょうど1点で交わる。 $L_{j}$ は、それより前の $j - 1$ 本とそれぞれ1点しか共有しない。よって $L_{j}$ を加えると、点は $q - (j - 1)$ 個以上増える。

∣ K ∣ \geq j = 1 \sum q + 1 (q - j + 1) = q + (q - 1) + \dots + 0 = \frac{q ( q + 1 )}{2}

（2） $q = 3$ なら下限は6で、9点の約67%にあたる。すべての選び方を計算機で調べると、実際の最小は7点になる。

図示

回し方3通りと、2から3への歩み

直径1の円、高さ1の正三角形、デルトイドの中で、長さ1の針の向きを反対にする。面積は順に0.785、0.577、0.393。

円と正三角形は凸で、デルトイドはくぼんでいる。そのうえ遠くへの平行移動まで許すと、ペロンの木のように面積はいくらでも小さくなる。

3次元の掛谷集合について、証明された次元の下限の移り変わり。1983年の2から、1995年に5/2、2000年と2019年にわずかに上がり、2025年に3に届いた。

シミュレーション

分けてずらして削る

「分ける回数」を上げると、正三角形が $2^{k}$ 個の細い三角形に分かれ、隣どうしを寄せて重ねた形になる。どの三角形も平行移動しただけなので、60°の範囲にあるすべての向きの線分が残ったまま、面積だけが減る。下の欄の面積は、形を横に600本の線で切って数え直した値である。

広がる学問

波の束と、有限の体へ

数学調和解析では、関数を細い管にのった波の束に分け、束がどれだけ重なるかを掛谷型の評価で数える。1991年にブルガンが、掛谷予想の進展をフーリエの制限問題やボホナー＝リースの平均の進展に変える方法を示した。形の面積の極値を問う点は等周不等式と同じだが、針の問題には最小の形が無い。
物理学 波動方程式やシュレーディンガー方程式の解も、管に沿って進む波の束に分けて調べる。ワンは、平面の波動方程式の局所平滑化予想を、ガスとジャンとの共同研究で解いた。
情報科学 有限体の上の掛谷問題は、1999年にウォルフが実数の問題の模型として提案した。2008年にドヴィルが、多項式を使う数ページの証明で解いた。2009年のドヴィル、コッパルティ、サラフ、スーダンの論文は、下限を $q^{n} / 2^{n}$ まで上げ、同じ方法で、偏った乱数から一様に近い乱数を取り出す抽出器を改良した。

いまの研究と事業

3次元のあとに続く研究

2025〜2026年ガス、ワン、ザール（MIT、ニューヨーク大学、南開大学） ガスが2025年8月に、一般の場合をくっつく場合に帰着する部分の概略を公開した。2026年1月には3人で、手順8の $β = 0$ をより少ない段階で導く原稿を出した。出典はarXiv:2508.05475とarXiv:2601.14411。
2024年ワンとシュクン・ウー（ニューヨーク大学、インディアナ大学）3次元のフーリエの制限問題で、指数 $p > 22/7$ の評価を示した。予想される範囲は $p > 3$ で、まだ開いている。この評価からは、証明の手順6で見たウォルフの評価 $∣ E ∣ ≳ δ^{1/2}$ が導ける。出典はarXiv:2411.08871。
2023年ケビン・レンとワン（プリンストン大学、ニューヨーク大学） 平面のフュルステンベルク集合の予想を解いた。 $t$ 次元ぶんの直線のそれぞれと、 $s$ 次元以上の部分で交わる集合は、ハウスドルフ次元が $min (s + t, (3 s + t) /2, s + 1)$ 以上になる。線分を丸ごと含まなくてよい、掛谷集合の仲間にあたる。出典はarXiv:2308.08819。
2021年ボダン・アルソフスキ（シェフィールド大学） $p$ 進数の空間 $Q_{p}^{n}$ で、どの向きにも長さ1の線分を含む有界な集合は、ハウスドルフ次元もミンコフスキー次元も $n$ になることを証明した。実数を $p$ 進数に替えた掛谷予想は、すべての次元で解けている。出典はarXiv:2108.03750。

参考文献

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3次元の掛谷予想

針を回す広さに下限はない

面積の代わりに次元で測る

細い管の重なりを数える

平面の管を手で数える

1万本の管と、円で切った周波数

三角形とデルトイドと有限の平面

例題 1基本針の向きを反対にできる正三角形

例題 2入試半分に分けてずらす

例題 3難関カントール集合の次元

例題 4大学デルトイドの中の針

例題 5大学有限の平面の掛谷集合

回し方3通りと、2から3への歩み

分けてずらして削る

波の束と、有限の体へ

3次元のあとに続く研究

参考文献

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