ソファ問題

完全な証明は 119 ページある。ここでは、形を「回る廊下の共通部分」として表し、ハマースリーの形が角を曲がれること(下限)と、面積が $2\sqrt{2}$ を超えないこと(上限)を示す。最後にペクの証明の骨組みを追う。

廊下を $L=(-\infty ,1]\times [0,1]\cup [0,1]\times (-\infty ,1]$ とする。内側の角が原点、外側の角が $(1,1)$ である。原点のまわりに角度 $t$ だけ左回りに回す変換を $R_t$、2 つの単位ベクトルを ${\mathbf{\mu }}_t=(\cos t,\sin t)$、${\mathbf{\nu }}_t=(-\sin t,\cos t)$ と書く。$H=\mathbb{R}\times [0,1]$ は横の帯である。

1. ソファの側から見ると、廊下が回りながら動く。回った角度が $t$ のときの廊下は、内側の角の位置 $\mathbf{x}(t)$ を使って $L_t=\mathbf{x}(t)+R_t(L)$ と書ける。回る角度の合計を $\beta$ とすると、ソファはどの瞬間の廊下にも入るので、共通部分に含まれる(ガーヴァーの考え)。

   $$S\subseteq H\cap \bigcap _{0\le t\le \beta }{L}_t$$

2. ハマースリーの形では、内側の角を、中心 $(-r,0)$・半径 $r$ の半円の上で動かす。

   $$\mathbf{x}(t)=r(\cos 2t-1,\sin 2t),0\le t\le \frac{\pi }{2}$$

3. 内側の 2 枚の壁は、$\mathbf{x}(t)$ から $-{\mathbf{\mu }}_t$ と $-{\mathbf{\nu }}_t$ の向きにのびる。倍角の公式で計算すると、2 枚はいつも半円の両端 $(-2r,0)$ と $(0,0)$ を通る。内側の角が削るのは、半円の中の直角三角形だけである(直径の上に立つ円周角は直角)。

   $$\mathbf{x}(t)-2r\cos t{\mathbf{\mu }}_t=(-2r,0),\mathbf{x}(t)-2r\sin t{\mathbf{\nu }}_t=(0,0)$$

4. 外側の 2 枚の壁の条件は $⟨\mathbf{p}-\mathbf{x}(t),{\mathbf{\mu }}_t⟩\le 1$ と $⟨\mathbf{p}-\mathbf{x}(t),{\mathbf{\nu }}_t⟩\le 1$ である。$⟨\mathbf{x}(t),{\mathbf{\mu }}_t⟩=0$、$⟨\mathbf{x}(t),{\mathbf{\nu }}_t⟩=2r\sin t$ を入れると、中心が $(0,0)$ と $(-2r,0)$ で半径 1 の四分円の接線の条件になる。

   $$⟨\mathbf{p},{\mathbf{\mu }}_t⟩\le 1,⟨\mathbf{p}-(-2r,0),{\mathbf{\nu }}_t⟩\le 1$$

5. 残る形は、四分円 2 つと $2r\times 1$ の長方形を合わせ、半径 $r$ の半円を除いたものになる。面積を $r$ で最大にすると(途中の計算の章)、ハマースリーの形が出る。

   $$f\left(\frac{2}{\pi }\right)=\frac{\pi }{2}+\frac{2}{\pi }\approx 2.2074$$

6. 次は上限である。ソファは最初 $H$ に入り、最後は縦の帯を $\beta$ だけ回した幅 1 の帯 $V_{\beta }$ に入る。2 本の帯の重なりは平行四辺形で、横に切ると、どの高さでも長さ $1/\cos \beta$ の線分になる。

   $$|S|\le |H\cap V_{\beta }|=\frac{1}{\cos \beta }$$

7. $\beta <45^{\circ }$ なら $|S|<\sqrt{2}$ である。$\beta \ge 45^{\circ }$ なら、45° 回った瞬間の廊下 $L_{45^{\circ }}$ を考える。廊下の 2 本の腕をそれぞれ幅 1 の帯までのばすと、$H$ との重なりは 2 つの平行四辺形で、面積は $1/\sin 45^{\circ }$ と $1/\cos 45^{\circ }$ である。ソファはこの 2 つを合わせた中に入る。

   $$|S|\le \frac{1}{\sin 45^{\circ }}+\frac{1}{\cos 45^{\circ }}=2\sqrt{2}\approx 2.83$$

8. 角度を 1 つでなく ${\alpha }_1<\cdots <{\alpha }_k$ と増やし、それぞれの瞬間の廊下の位置 ${\mathbf{u}}_j$ を動かして、重なりの面積の最大を調べる。回る角度の合計が ${\alpha }_k$ 以上のソファはこの重なりに入る。カルスとロミックは、この有限次元の問題の最大値を計算機で厳密に上から押さえ、上限 2.37 を得た。

   $$|S|\le \underset{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_k}{\sup }|H\cap \bigcap _{j=1}^k{L}_{{\alpha }_j}({\mathbf{u}}_j)|$$

ペクの証明は、ここから先を計算機なしで進める。

9. 面積が最大の形は、その形に接して支える廊下の共通部分に置き換えてよい(面積は減らない)。置き換えた形は、凸な図形 $K$ から、内側の角が削るくぼみ $N(K)$ を除いたものになる。

   $$|S|=|K|-|N(K)|$$

10. 最大の形について、ガーヴァーのつり合いの条件を、形がつながっていることまで含めて証明し直す。これと初等幾何から、最大の形はちょうど 90° 回る。さらに新しい微分不等式から、ソファの側から見た内側の角の通り道は自分自身と交わらない。

    $$\beta =\frac{\pi }{2}$$

11. $S$ を、ガーヴァーの形に似た少し大きい領域で包み、その面積を $Q(S)$ とする。$Q$ は凸な図形の組 $(K,B,D)$ の関数で、ガーヴァーの形 $G$ では面積に一致する。

    $$|S|\le Q(S),Q(G)=|G|$$

12. 2 つの凸な図形を割合 $\lambda$ でミンコフスキー和として混ぜると、面積は $\lambda$ の 2 次式になる($V$ は混合面積)。この性質とマミコンの定理から、$Q$ は上に凸な 2 次の関数になる。

    $$|(1-\lambda )K+\lambda K^{\prime }|=(1-\lambda {)}^2|K|+2\lambda (1-\lambda )V(K,K^{\prime })+{\lambda }^2|K^{\prime }|$$

13. ロミックの微分方程式を使うと、$G$ から少し動かしたときの $Q$ の方向微分は、どの向きでも 0 以下になる。一方、$Q$ は上に凸なので、次の不等式が成り立つ。$Q(S)>Q(G)$ なら、$G$ から $S$ へ向かう方向微分は $Q(S)-Q(G)>0$ 以上になり、矛盾する。

    $$Q((1-\lambda )G+\lambda S)\ge Q(G)+\lambda (Q(S)-Q(G))$$

14. よって $Q(S)\le Q(G)$ で、どの形の面積もガーヴァーの形の面積を超えない。

    $$|S|\le Q(S)\le Q(G)=|G|=2.2195\cdots$$