8 次元の球の詰め込み

E8 格子を作り、その詰まり具合を求める。

1. 座標がすべて整数で、和が偶数の点の全体を $D_8$ とする。整数の点のちょうど半分なので、1 点あたりの体積(単位胞の体積)は 2 である。

   $$D_8=\{x\in {\mathbb{Z}}^8:x_1+\cdots +x_8\equiv 0(\mathrm{mod}2)\}$$

2. $D_8$ で原点に最も近い点は $(\pm 1,\pm 1,0,\dots ,0)$ の形で、点どうしの最短距離は $\sqrt{2}$ である。一方、座標がすべて $\frac{1}{2}$ の点 $h$ は、どの格子の点からも遠い「深い穴」になる。整数 $x_i$ について $(x_i-\frac{1}{2}{)}^2\ge \frac{1}{4}$ なので、格子の点 $x$ までの距離は

   $$|h-x|\ge \sqrt{8\times \frac{1}{4}}=\sqrt{2}$$

3. 穴の深さが、ちょうど点どうしの最短距離に等しい。だから穴にも同じ大きさの球が入る。穴の点を足した集まりを $E_8$ とする。$2h=(1,\dots ,1)$ は和が 8 で $D_8$ に入るので、$E_8$ は足し算と引き算で閉じ、格子になる。

   $$E_8=D_8\cup (D_8+h)$$

4. 点の数が 2 倍になったので、1 点あたりの体積は半分になる。

   $$\mathrm{vol}({\mathbb{R}}^8/E_8)=\frac{2}{2}=1$$

5. 0 でない点の長さの 2 乗は、$D_8$ の側では 2 以上(0 でない座標が 2 つ以上あるか、1 つだけなら偶数で 4 以上)、$D_8+h$ の側でも各座標の大きさが $\frac{1}{2}$ 以上なので 2 以上である。最短距離は $\sqrt{2}$ で、重ならずに置ける球の最大の半径は

   $$r=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

6. 半径 1 の $d$ 次元の球の体積を $V_d$ とする。最後の 2 つの座標の平面で中心から $\rho$ の輪の上には、半径 $\sqrt{1-{\rho }^2}$ の $(d-2)$ 次元の球の切り口が乗るので

   $$V_d=V_{d-2}{\int }_0^1(1-{\rho }^2{)}^{\frac{d-2}{2}}2\pi \rho d\rho =\frac{2\pi }{d}{V}_{d-2}$$

7. 円の面積 $V_2=\pi$ から 3 回使うと、8 次元の単位球の体積は

   $$V_8=\frac{2\pi }{8}\cdot \frac{2\pi }{6}\cdot \frac{2\pi }{4}\cdot \pi =\frac{{\pi }^4}{24}=\frac{{\pi }^4}{4!}$$

8. 格子の詰まり具合は、1 点に置いた球の体積を 1 点あたりの体積で割ったものである。$r^8=(1/\sqrt{2}{)}^8=1/16$ なので

   $${\Delta }_8=\frac{V_8{r}^8}{\mathrm{vol}({\mathbb{R}}^8/E_8)}=\frac{{\pi }^4}{24}\cdot \frac{1}{16}=\frac{{\pi }^4}{384}\approx 0.2537$$

手順 5 で長さがちょうど $\sqrt{2}$ になる点を数えると、$D_8$ の側が $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)\times 4=112$ 個、$D_8+h$ の側が、負の符号が偶数個の $2^7=128$ 個で、合わせて 240 個ある。1 つの球に 240 個の球が接している。長さ $\sqrt{2n}$ の点は、$n$ の約数の 3 乗の和 ${\sigma }_3(n)$ の 240 倍ある($n=2$ なら 2160 個)。点を長さごとに数えた母関数が、重さ 4 のモジュラー形式 $E_4$ に一致するからである。手順 6 からは、3 次元の $V_3=\frac{2\pi }{3}{V}_1=\frac{4\pi }{3}$ も出る(球の体積)。

最も密であることの道筋。 E8 より密な並べ方が無いことを、格子の場合で示す。コーンとエルキースは、次の条件を満たす関数 $f$ を考えた。$\hat{f}$ は $f$ のフーリエ変換、$\rho$ は正の数である。

9. 遠くでは $f$ が 0 以下、$\hat{f}$ はどこでも 0 以上、中心では両方が 1 である。

   $$f(x)\le 0(|x|\ge \rho ),\hat{f}(y)\ge 0,f(0)=\hat{f}(0)=1$$

10. 格子 $\Lambda$ とその双対格子 ${\Lambda }^{\ast }$ について、ポアソンの和公式が成り立つ。

    $$\sum _{x\in \Lambda }f(x)=\frac{1}{\mathrm{vol}({\mathbb{R}}^d/\Lambda )}\sum _{y\in {\Lambda }^{\ast }}\hat{f}(y)$$

11. 格子を拡大・縮小して最短距離を $\rho$ にすると、左辺は $f(0)$ 以外の項が 0 以下、右辺は $\hat{f}(0)$ 以外の項が 0 以上である。

    $$1=f(0)\ge \sum _{x\in \Lambda }f(x)=\frac{1}{\mathrm{vol}({\mathbb{R}}^d/\Lambda )}\sum _{y\in {\Lambda }^{\ast }}\hat{f}(y)\ge \frac{1}{\mathrm{vol}({\mathbb{R}}^d/\Lambda )}$$

12. よって 1 点あたりの体積は 1 以上である。置ける球の半径は $\rho /2$ だから、どの格子の詰まり具合も

    $$\Delta \le V_d{\left(\frac{\rho }{2}\right)}^d$$

13. 8 次元で $\rho =\sqrt{2}$ のそういう $f$ があれば、右辺は手順 8 と同じ値になり、E8 が最も密だと決まる。

    $$V_8{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^8=\frac{{\pi }^4}{384}$$

コーンとエルキースは、この不等式が格子でない並べ方にも成り立つことを示している。等号になるには、手順 11 で捨てた項がすべて 0 でなければならない。E8 の点の長さは $\sqrt{2n}$ で、E8 は自分自身の双対格子である。だから $f$ は $\sqrt{2}$ で符号を変え、その先の $\sqrt{4},\sqrt{6},\sqrt{8},\dots$ で 0 になり、$\hat{f}$ は $\sqrt{2}$ から先のすべてで 0 になる必要がある(図示)。これが「魔法の関数」である。$f$ と $\hat{f}$ の一方を思いどおりの形にするのはやさしいが、両方を同時に押さえるのは難しい。不確定性原理と同じく、関数を一方で絞ると、そのフーリエ変換が広がってしまうからである。

ヴィヤゾウスカは条件を関数方程式に書き直し、その解をモジュラー形式から作った。モジュラー形式は、$z\mapsto -1/z$ などの変換で決まった振る舞いをする、数論の中心にある関数である。コーンの解説の書き方では、$|x{|}^2>2$ のとき次のようになる。

$\phi$ は準モジュラー形式、$\psi$ は弱モジュラー形式から組み立てた関数である。${\sin }^2$ の因子が、$|x{|}^2$ が偶数のところで 2 重の 0 を作る。最後に必要な $\phi (it)+\psi (it)<0$ と $\phi (it)-\psi (it)>0$ という不等式は、区間演算を使ったコンピュータの計算でも確かめられている。完全な証明は、ヴィヤゾウスカの論文(参考文献 1)にある。24 次元では、$\rho =2$ の関数を同じ考えで作る。