素数定理

完全な証明は、解析数論の教科書で数十ページを要する。ここでは道筋と、どこが難しいかを示す。$p$ は素数を表す。

1. 素因数分解がただ 1 通りであることから、$\mathrm{Re}s>1$ でオイラー積が成り立つ。

   $$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}$$

2. 対数をとって微分すると、素数とその累乗だけが残る。$\Lambda (n)$ は $n=p^k$ のとき $\ln p$、それ以外は 0 である。

   $$-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\Lambda (n)}{n^s}$$

3. 素数の重み付きの個数 $\psi (x)={\sum }_{n\le x}\Lambda (n)$ を考える。部分和の計算で、素数定理は次と同じことになる。

   $$\pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}⟺\psi (x)\sim x$$

4. $\zeta (s)$ は $s=1$ で 1 位の極を持つ。そのため手順 2 の左辺は $s=1$ の近くで $\frac{1}{s-1}$ のようにふるまい、これが $\psi (x)$ の主な項 $x$ を生む。

   $$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+(\text{s = 1 の近くでなめらかな関数})$$

5. 最も難しい点は、実部が 1 の直線の上に $\zeta$ の零点が無いことである。零点があれば、手順 2 の左辺にもう 1 つ極ができ、$\psi (x)$ が $x$ のまわりで振動し続けてしまう。$3+4\cos \theta +\cos 2\theta =2(1+\cos \theta {)}^2\ge 0$ という不等式から、$\sigma >1$ で次が言える。

   $$\left|\zeta (\sigma {)}^3\zeta (\sigma +it{)}^4\zeta (\sigma +2it)\right|\ge 1$$

6. もし $\zeta (1+it)=0$ なら、$\sigma \to 1$ で左辺は $\zeta (\sigma {)}^3$ の 3 位の極と 4 位の零点が打ち消し合って 0 に近づき、手順 5 に反する。よって

   $$\zeta (1+it)\ne 0(t\ne 0)$$

7. 最後に、ディリクレ級数の情報を $\psi (x)$ の大きさの情報に戻す定理(タウバー型の定理、または複素積分)を使うと、$\psi (x)\sim x$ が得られ、手順 3 から素数定理が出る。

   $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\psi (x)}{x}=1$$

1896 年まで証明できなかった大きな理由は、手順 5〜7 に必要な複素関数論の道具がまだ育っていなかったことにある。アダマールが 1893 年に作った整関数の理論も、その道具の 1 つである。1980 年にドナルド・ニューマンが手順 7 を大きく短くした証明を発表し、今では数ページで書ける。

零点が実部 1 の直線からどれだけ離れているかが、近似の誤差の大きさを決める。リーマン予想が正しければ、誤差は $\sqrt{x}\ln x$ 程度に収まることが 1901 年に示されている。