同じ音の太鼓

ワイルが出発点にした正方形なら、ワイルの法則を最後まで自分で確かめられる。1辺$a$の正方形の固有値は、1以上の整数$m$, $n$を使った${\lambda }_{m,n}={\pi }^2(m^2+n^2)/a^2$だ。導き方は「面積14の正方形で音を並べる」で追える。固有値と点$(m,n)$は1対1に対応するので、音を数えることは、格子点を数えることにほかならない。

1. $\lambda$以下の音の数を、格子点の数で書く

   $$N(\lambda )=\#\left\{(m,n):m,n\ge 1,m^2+n^2\le X\right\},X=\frac{a^2\lambda }{{\pi }^2}$$

2. 数えた点$(m,n)$ごとに、左下へ1辺1の正方形$[m-1,m]\times [n-1,n]$を割り当てる。正方形は重ならず、中の点は原点から$\sqrt{m^2+n^2}\le \sqrt{X}$以内にあるので、どれも半径$\sqrt{X}$の四分円に入る

   $$N(\lambda )\le \frac{\pi X}{4}$$

3. 逆に、半径$\sqrt{X}-\sqrt{2}$の四分円に入る点$(x,y)$は、$m=\lceil x\rceil$, $n=\lceil y\rceil$とした正方形に含まれる。この格子点までは$\sqrt{2}$未満しか離れていないので、$(m,n)$は数えた点である

   $$N(\lambda )\ge \frac{\pi {\left(\sqrt{X}-\sqrt{2}\right)}^2}{4}$$

4. 両側を$X$で割り、$X\to \infty$とする

   $$\underset{X\to \infty }{\lim }\frac{N(\lambda )}{X}=\frac{\pi }{4}$$

5. $X=a^2\lambda /{\pi }^2$を戻すと、面積$A=a^2$が現れる

   $$\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\frac{N(\lambda )}{\lambda }=\frac{a^2}{4\pi }=\frac{A}{4\pi }$$

周の長さを含む項も、同じ格子点から出てくる。半径$\sqrt{X}$の円に入る格子点を、軸の上にある点も含めてすべて数えると、$\pi X+R(X)$個。$R(X)$は面積とのずれである。軸の上にある$4\lfloor \sqrt{X}\rfloor +1$個を除き、残りを4つの象限に等しく分けると

となる。$\sqrt{X}=a\sqrt{\lambda }/\pi$で、周は$L=4a$なので、2番目の項はほぼ$L\sqrt{\lambda }/4\pi$に等しい。ワイルが予想したマイナスの項は、軸の上で数えなかった点の分だった。

半径を広げると、数えた点と四分円の面積$\pi X/4$との差は開いていくが、$\pi X/4-\sqrt{X}$とはほとんど離れない。$\sqrt{X}=14$なら、数えた点は139個、$\pi X/4-\sqrt{X}$は139.9である。

では、形が違う2つの太鼓は、なぜ同じ音を出すのか。ブーザーらの証明を、太鼓2にある三角形1枚で追ってみる。三角形の番号と辺の種類は、「7枚の三角形の並べ方」の図で確かめられる。

どちらの太鼓でも、隣り合う三角形は、共有する辺について鏡に映した位置にある。辺を斜辺、破線の辺、点線の辺の3種類に分けておくと、折り返しても種類は変わらない。太鼓1の固有関数$\phi$を三角形$k$に制限し、基準にする三角形1枚へ移したものを${\phi }_k$と書く。太鼓2の三角形$j$には、次の${\psi }_j$を置く。

1. 縁で0になる固有関数は、縁を鏡にして向こう側へ延ばすと、鏡に映した点$\sigma (p)$で符号が反転した値をとり、同じ$\lambda$の固有関数として続く（鏡像の原理）

   $$u(\sigma (p))=-u(p)$$

2. 太鼓2の三角形1には、太鼓1から3枚を符号付きで重ねる

   $${\psi }_1={\phi }_1-{\phi }_2-{\phi }_7$$

3. 三角形1の斜辺は太鼓2の縁である。太鼓1では1と2が斜辺で隣り合い、7は斜辺が縁なので、斜辺を越えるとそれぞれ次のように変わる

   $${\phi }_1\to {\phi }_2,{\phi }_2\to {\phi }_1,{\phi }_7\to -{\phi }_7$$

4. 足し合わせると、もとの符号違いになる

   $${\phi }_2-{\phi }_1+{\phi }_7=-{\psi }_1$$

5. 鏡に映すと符号だけが反転する関数は、鏡の線の上で0になる。三角形1の点線の辺も太鼓2の縁で、太鼓1では1、2、7とも点線の辺が縁なので、やはり符号違いになる

   $$-{\phi }_1+{\phi }_2+{\phi }_7=-{\psi }_1$$

6. 三角形1の破線の辺を越えると、太鼓2の三角形2に入る。太鼓1で破線の辺を越えると${\phi }_1\to -{\phi }_1$, ${\phi }_2\to {\phi }_3$, ${\phi }_7\to {\phi }_5$となり、和は三角形2に置いた関数と一致する

   $$-{\phi }_1-{\phi }_3-{\phi }_5={\psi }_2$$

7. 7枚の三角形がもつ21本の辺で同じ確認をすると、$\psi$は太鼓2の縁で0になり、継ぎ目でなめらかにつながる。つまり太鼓2の固有関数になる

   $$-\Delta \psi =\lambda \psi$$

8. 7つの式の係数を並べた7×7の行列$T$は逆行列をもつので、$\phi \ne 0$なら$\psi \ne 0$である。同じ移し替えは逆向きにも使えるので、どの$\lambda$でも固有関数の数（重複度）は2つの太鼓で等しい

   $$\det T=24\ne 0$$

7つの式を見比べると、どの${\phi }_k$もちょうど3つの式に入り、どの2つの式もちょうど1つの${\phi }_k$を共有している。7つの点と7本の線でできたファノ平面と同じ並び方で、168個の元をもつ先ほどの有限群は、この平面を保つ変換の群にあたる。

移し替えを使わずに確かめられる音もある。三角形1枚の揺れを、そのまま7枚に並べた音だ。直角をはさむ辺を$y=0$と$x=d$に置いた三角形$0<y<x<d$で、縁で0になるいちばん低い揺れは次の式で表せる。

この揺れを7枚の三角形に、隣どうしで符号を変えながら置けば、どちらの太鼓でも固有関数になる。$d=2$なら$\lambda =5{\pi }^2/4\approx 12.337$で、2つの太鼓で9番目の音にあたる。三角形で2番目に低い揺れ（$\lambda =10{\pi }^2/d^2$）からは、同じ並べ方で21番目の音ができる。