トンガ噴火の津波（気圧の波が海面を持ち上げた）

沖の海面は、どれだけ上がったのか。久保田らの査読前の原稿によると、世界の気圧計で見た気圧の山は約2 hPaである。秒速300 mで、重力加速度を9.8 m/s²、海水の密度を1025 kg/m³とする。

1. 2 hPa = 200 Paを水の高さに直す

   $$\frac{P}{\rho g}=\frac{200}{1025\times 9.8}\approx 0.020\mathrm{m}$$

2. 水深5,000 mの津波の速さを出す

   $$\sqrt{gh}=\sqrt{9.8\times 5000}\approx 221m/s$$

3. フルード数の2乗を出す

   $$F^2=\frac{300^2}{9.8\times 5000}\approx 1.84$$

4. 倍率を出す

   $$\frac{1}{F^2-1}\approx 1.20$$

5. 海面の盛り上がりを出す

   $$\eta \approx 1.20\times 2.0\mathrm{cm}\approx 2.4\mathrm{cm}$$

6. 海底の水圧は気圧と水の重さの和である

   $$p_{\mathrm{bot}}=P+\rho g\eta =\frac{F^2}{F^2-1}P$$

7. 水深5,000 mの値を入れる

   $$p_{\mathrm{bot}}\approx 2.20\times 2\mathrm{hPa}\approx 4.4\mathrm{hPa}$$

8. 水深4,000 mの値を入れる

   $$p_{\mathrm{bot}}\approx 1.77\times 2\mathrm{hPa}\approx 3.5\mathrm{hPa}$$

上空の2 hPaが、海底では3.5〜4.4 hPaになる。原稿によると、海底水圧計の観測は約3〜4 hPa、地形を入れた計算は約4 hPaだった。原稿の補足資料も同じ関係から、水深約4,000 mで1.8倍と見積もっている。海底地形を入れない1行の式でここまで近づくのだから、少し驚く。

では、共鳴はどの深さで起きるのか。

9. $c=\sqrt{gh}$を$h$について解く

   $$h_{\mathrm{res}}=\frac{c^2}{g}=\frac{300^2}{9.8}\approx 9184\mathrm{m}$$

ラム波の速さは、測り方で幅がある。勉強会の報告書は到達時刻に合う値として312 m/s、音速として340 m/sを挙げ、Wrightらの解析は地表近くで318.2±6 m/sとした。同じ式で312 m/sなら9.9 km、340 m/sなら11.8 kmで、後者は報告書の11,796 mと一致する。勉強会の「10,000m近い」も、この範囲に入る。しかし勉強会が典型的な値に置いた水深5,000 mでは、倍率は1.2倍にとどまる。発散からは遠く、山と自由波も早く離れる（例題5）ので、波は距離とともに育たない。久保田らが共鳴ではないとした理由と、この数字は矛盾しない。

ラム波の速さが音速に近い理由も、短い計算で出る。鉛直の動きが無い音波を考える。

10. 水平の運動と連続の式を書く

    $${\rho }_0\frac{\partial u^{\prime }}{\partial t}=-\frac{\partial p^{\prime }}{\partial x},\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial t}=-{\rho }_0\frac{\partial u^{\prime }}{\partial x}$$

11. 断熱の関係を入れる

    $$p^{\prime }=c_{\mathrm{s}}^2{\rho }^{\prime }$$

12. $u^{\prime }$と${\rho }^{\prime }$を消す

    $$\frac{{\partial }^2{p}^{\prime }}{\partial t^2}=c_{\mathrm{s}}^2\frac{{\partial }^2{p}^{\prime }}{\partial x^2}$$

13. 理想気体の音速を出す。$\gamma =1.4$、$R=287J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$とする。

    $$c_{\mathrm{s}}=\sqrt{\gamma RT},T=288\mathrm{K}:340m/s,T=224\mathrm{K}:300m/s$$

14. 鉛直は静水圧のつり合いで決まる（$H=RT/g$は一定温度の大気のスケールハイト）

    $$\frac{\partial p^{\prime }}{\partial z}=-g{\rho }^{\prime }\Rightarrow p^{\prime }\propto e^{-z/(\gamma H)}$$

気圧の変化は上へ行くほど弱まり、エネルギーは地表の近くに集まる。だから波は上へ逃げず、水平に広がって遠くまで届く。勉強会の報告書にある「大気と地面や海面との境界に捕捉されて」という性質である。実際の大気は上空ほど冷たく、風の影響も受けるので、地表の音速340 m/sより遅くなる。