アインシュタイン方程式

式の左辺は時空の曲がり方を、右辺は物質のエネルギーと運動量を表す。$g_{\mu \nu }$ は時空の距離の測り方を決める計量、$R_{\mu \nu }$ と $R$ は計量を 2 回微分して作る曲率(リッチ・テンソルとスカラー曲率)、$T_{\mu \nu }$ はエネルギー・運動量テンソルで、右辺には質量とエネルギーの等価性によって物の質量も入る。添え字は時間の 0 と空間の 1, 2, 3 を走り、式は 10 本の連立の偏微分方程式になる。

重力が弱く、物がゆっくり動くとき、この式がニュートンの重力に戻ることを確かめ、係数を決める。係数を $\kappa$ と置き、計量の符号は $(-,+,+,+)$ とする。

1. 出発点の式。

   $$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$$

2. 両辺に $g^{\mu \nu }$ を掛けて足し合わせる。4 次元では $g^{\mu \nu }{g}_{\mu \nu }=4$ なので、$T=g^{\mu \nu }{T}_{\mu \nu }$ と書いて

   $$R-2R=\kappa T,R=-\kappa T$$

3. これを 1 に戻すと、1915 年 11 月 25 日の論文と同じ形になる(アインシュタインの符号の付け方はいまと違う)。

   $$R_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }\right)$$

4. ゆっくり動く物質では、圧力は $\rho c^2$ よりずっと小さく、エネルギーの密度の成分だけが残る。$g^{00}\approx -1$ なので

   $$T_{00}\approx \rho c^2,T\approx -\rho c^2$$

5. 3 の時間と時間の成分に入れる($g_{00}\approx -1$)。

   $$R_{00}\approx \kappa \left(\rho c^2-\frac{1}{2}\rho c^2\right)=\frac{1}{2}\kappa \rho c^2$$

6. 弱く、時間で変わらない重力では、計量は平らな時空からわずかにずれるだけである。時間の成分のずれを関数 $\Phi$ で書く。

   $$g_{00}=-\left(1+\frac{2\Phi }{c^2}\right)$$

7. 計量の微分から作るクリストッフェル記号のうち、ここで効くのは次の成分である。空間の成分のずれは、この近似では効かない。

   $${\Gamma }_{00}^i=-\frac{1}{2}{\partial }_i{g}_{00}=\frac{1}{c^2}{\partial }_i\Phi$$

8. 自由に落ちる物は、時空の中でいちばんまっすぐな線(測地線)をたどる。その方程式は ${\ddot{x}}^i=-c^2{\Gamma }_{00}^i$ になるので $\frac{d^2{x}^i}{d{t}^2}=-{\partial }_i\Phi$ これはニュートンの運動方程式で、$\Phi$ は 1 kg あたりの重力の位置エネルギーにあたる。

9. 同じ近似で、リッチ・テンソルの時間と時間の成分は、${\Gamma }_{00}^i$ を空間で微分して足したものになる。

   $$R_{00}\approx \sum _{i=1}^3{\partial }_i{\Gamma }_{00}^i=\frac{1}{c^2}{\nabla }^2\Phi$$

10. 5 と 9 を等しいと置く。

    $${\nabla }^2\Phi =\frac{\kappa c^4}{2}\rho$$

11. ニュートンの重力では、万有引力の法則にガウスの法則を使うと ${\nabla }^2\Phi =4\pi G\rho$ になる。比べると

    $$\kappa =\frac{8\pi G}{c^4}$$

$\kappa$ は $2.08\times 10^{-43}$ s²/(kg·m) と、とても小さい。時空はゆがみにくく、地球の表面でも $\Phi /c^2=-GM/(R{c}^2)$ は $-7.0\times 10^{-10}$ にすぎない。

左辺に $-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }$ が要るのは、エネルギーと運動量の保存のためである。$T_{\mu \nu }$ は発散が 0 なので、左辺も発散が 0 でなければならない。$R_{\mu \nu }$ だけではそうならないが、この組み合わせは、曲率がいつも満たすビアンキの恒等式によって発散が 0 になる。1971 年と 1972 年、デイヴィッド・ラヴロックは、4 次元でそうなるテンソルは、計量とその 2 回までの微分から作るものなら、この左辺と $g_{\mu \nu }$ の定数倍の和に限ることを示した。宇宙項が入る余地は、ここにある。

水星の次に試されたのは、光の曲がりである。1919 年 5 月 29 日の皆既日食に、イギリスはブラジルのソブラルと、アフリカの西の沖のプリンシペ島へ観測隊を送った。11 月 6 日、王立協会と王立天文学会の合同の会合で、太陽の縁に直した値として、ソブラルの口径 4 インチの望遠鏡から 1.98 秒、アーサー・エディントンのいたプリンシペから 1.61 秒が報告された。ニュートン力学の 0.87 秒より、一般相対性理論の 1.75 秒に近い。ソブラルの大きな望遠鏡は 0.93 秒を出したが、像がぼやけたとして使われず、この判断はのちに疑われた。王立グリニッジ天文台がソブラルの写真を測り直した 1979 年の報告では、4 インチで 1.90 秒、大きな望遠鏡で 1.55 秒になった。2003 年には、探査機カッシーニとの電波のやりとりから、光の進み方を表す係数が、予言と 10 万分の数の範囲で一致した。