ド・ブロイ波長

光子の関係から出発し、それを電子に当てはめ、原子の中の電子の条件を導く。

1. 振動数 $\nu$ の光の粒(光子)1 個のエネルギーは

   $$E=h\nu$$

2. 相対性理論では、質量 0 の粒子のエネルギーと運動量は $E=pc$ で結ばれる(質量とエネルギーの等価性)。

   $$p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu }{c}$$

3. 光の速さは振動数と波長の積 $c=\nu \lambda$ なので

   $$p=\frac{h}{\lambda }$$

4. 波長について解き、この関係が質量を持つ粒子にも成り立つと仮定する。これがド・ブロイの考えである。

   $$\lambda =\frac{h}{p}$$

5. 光よりずっと遅い電子では $p=mv$ である。電圧 $V$ で加速すると $eV=\frac{1}{2}m{v}^2=p^2/2m$ なので

   $$\lambda =\frac{h}{\sqrt{2meV}}$$

6. $h=6.626\times 10^{-34}$ J·s、電子の質量 $m=9.109\times 10^{-31}$ kg、電荷 $e=1.602\times 10^{-19}$ C を入れると

   $$\lambda \approx \frac{1.226}{\sqrt{V}}\text{nm}$$

7. 原子の中で半径 $r$ の円を回る電子に波が伴うなら、一周して元の形につながる波だけが残る。円周が波長の整数倍になる条件は

   $$2\pi r=n\lambda (n=1,2,3,\dots )$$

8. $\lambda =h/mv$ を入れると、ボーアが 1913 年に仮定として置いた条件になる。$\hslash =h/2\pi$ である。

   $$mvr=n\frac{h}{2\pi }=n\hslash$$

水素の最も低い軌道では、半径は 0.0529 nm、電子の速さは秒速 2190 km である。円周は 0.332 nm で、この速さの電子の波長 $h/mv$ も 0.332 nm になり、ちょうど 1 波長が収まる。

ド・ブロイ自身の筋は、光から始めるこの筋とは違った。1929 年の講演によれば、粒子の内部の振動 $h{\nu }_0=m_0{c}^2$ と相対性理論から、波の位相の速さ $c^2/v$ を求め、そこから $p=h\nu /(c^2/v)=h/\lambda$ を導いた。質量を 0 に近づけると、光子の $E=h\nu$、$p=h\nu /c$ に戻る。

5 の式は、電子が光よりずっと遅いときの近似である。速い電子では $\lambda =h/\sqrt{2meV(1+eV/2m{c}^2)}$ を使う。電子の $m{c}^2$ は 511 keV なので、100 V では差は 0.005 % にすぎないが、10 kV で 0.5 %、100 kV で 4.6 % 短くなる。

6 から、100 V の電子の波長は 0.123 nm で、結晶の中の原子の間隔と同じくらいになる。電子を結晶に当てれば、X 線と同じように回折するはずである。

ニッケルの結晶で。 ニューヨークの電話会社の研究所(のちのベル電話研究所)のクリントン・デイヴィソンは、1919 年から、金属に電子を当ててはね返る電子を調べていた。原子の中の様子を探るためである。共同研究者レスター・ジャーマーのノートによれば、1925 年 2 月 5 日、液体空気の瓶が割れて実験の管が壊れ、ニッケルの的がひどく酸化した。酸化を取るために長く熱すると、細かい結晶の集まりだった的は 10 ほどの大きな結晶に変わり、はね返る電子の分布に鋭い山が現れた。2 人は 1 つの結晶から切り出した的に切り替えた。

1926 年の夏、デイヴィソンはオックスフォードの学会で、マックス・ボルンが、デイヴィソンたちの 1923 年の測定を電子の波の証拠として引くのを聞いた。帰国してからは波を探す実験に絞った。1927 年 1 月 6 日のノートには「電子の束の最初の出現」とある。続く測定では、54 V の電子で、入射の向きから 50° の向きに強い束が出た。表面の原子の列の間隔 $d=0.215$ nm に、隣の列からの波が強め合う条件 $d\sin \phi =\lambda$ を当てはめると、0.167 nm の波長から $\phi \approx 51^{\circ }$ が出る(図示)。結果は 1927 年 4 月に『ネイチャー』、12 月に『フィジカル・レビュー』に載った。

薄い膜を通して。 同じころ、スコットランドのアバディーン大学のジョージ・パジェット・トムソンは、学生のリードと、1 万 3000 V ほどの速い電子をセルロイドの薄い膜に通した。写真の乾板には、中心の点を囲む輪が写った。のちに金属の膜でも輪を撮り、磁石で曲げると輪ごと動くことから、輪を作ったのが電子であることも確かめた。

雲母で。 東京の理化学研究所の菊池正士は、西川正治の勧めで、薄い雲母の板に電子を通して回折の像を撮り、1928 年 6 月に報告した。厚めの雲母では、白と黒の線が交わる模様が現れた。菊池は、結晶の中で電子が何度も散らばるためではないかと書いた。この線はのちに菊池線と呼ばれる。ド・ブロイは 1929 年の講演で、追試をした 1 人として日本の菊池の名を挙げている。

1937 年のノーベル物理学賞は、デイヴィソンとトムソンに贈られた。トムソンの父 J. J. トムソンは、気体の中を電気が伝わる研究で 1906 年に同じ賞を受け、電子の発見者として知られる。父が粒子として見つけた電子が、子の実験では波として振る舞った、という取り合わせはよく語られる。トムソンは講演で、電子の歴史に父の名を挙げることを、当然の誇りとして許してほしいと述べた。