シュレーディンガー方程式

シュレーディンガー方程式は、もっと基本的な法則から証明される式ではない。量子力学の出発点に置く仮定である。ここでは、自由な粒子の波から式の形を決め、箱の中の粒子で答えを確かめる。$\hslash =h/2\pi$ とする。

1. 自由に飛ぶ粒子に、向きのそろった波(平面波)が伴うとする。

   $$\psi (x,t)=A{e}^{i(kx-\omega t)}$$

2. ド・ブロイの関係と光のエネルギーの関係を、波数 $k$ と角振動数 $\omega$ で書く。

   $$p=\hslash k,E=\hslash \omega$$

3. 時間で 1 回微分すると、エネルギーが掛かる。

   $$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hslash \omega \psi =E\psi$$

4. 位置で 2 回微分すると、運動量の 2 乗が掛かる。

   $$-{\hslash }^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}={\hslash }^2{k}^2\psi =p^2\psi$$

5. 古典力学では、エネルギーは運動エネルギーと位置エネルギーの和 $E=p^2/2m+V$ である。3 と 4 をこの関係に当てはめる。

   $$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+V\psi$$

6. $V$ が時間によらないとき、$\psi =\phi (x)e^{-iEt/\hslash }$ とおくと、時間を含まない式になる。第 1 報の式はこの形である。

   $$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\phi }^{\prime \prime }+V\phi =E\phi$$

7. 幅 $L$ の箱の中($V=0$)で、壁で $\phi (0)=\phi (L)=0$ とする。6 の解のうち条件を満たすのは ${\phi }_n=\sin (n\pi x/L)$($n=1,2,3,\dots$)だけである。

   $$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\phi }_n^{\prime \prime }=\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{n\pi }{L}{)}^2{\phi }_n$$

8. よってエネルギーは飛び飛びの値しかとれない。ボーアが仮定で置いた段が、波の境界の条件から出てくる。

   $$E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}$$

手順 5 は、2 つの関係を当てはめただけである。正しいかどうかは実験が決める。水素原子に $V=-e^2/(4\pi {\epsilon }_{0}r)$ を入れて解くと $E_n=-13.6\mathrm{eV}/n^2$ が出る。ボーアの式と同じ値で、水素の光のバルマー系列の波長を再現する。この式に従うかぎり、$|\psi {|}^2$ を空間全体で足した値は時間がたっても変わらない。確率の合計は 1 のまま保たれる。

1927 年には、クリントン・デイヴィソンとレスター・ジャーマーが、ニッケルの結晶に当てた電子が波のように回折することを確かめた。1989 年には日立製作所の外村彰らが、電子線を 2 つの道に分ける装置に電子を 1 個ずつ通し、点が少しずつ集まって干渉の縞になる様子を記録した。1 個の電子の行き先は偶然で決まり、たくさん集めると $|\psi {|}^2$ の形が現れる。