ディラック方程式

ディラックの組み立て方をたどる。量子力学では、エネルギーと運動量を微分に置き換える($E\to i\hslash {\partial }_t$、$\mathbf{p}\to -i\hslash \nabla$)。

1. 相対性理論のエネルギーと運動量の関係から始める。

   $$E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$$

2. 1 をそのまま置き換えると、時間で 2 回微分する式(クライン・ゴルドン方程式)になる。

   $$-{\hslash }^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=-{\hslash }^2{c}^2{\nabla }^2\psi +m^2{c}^4\psi$$

3. ディラックは $E$ を運動量の 1 次式で書こうとした。係数 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta$ は、まだ何か分からないもの。

   $$E=c({\alpha }_1{p}_1+{\alpha }_2{p}_2+{\alpha }_3{p}_3)+\beta m{c}^2$$

4. 3 を 2 乗する。係数どうしの掛ける順番は入れ替えられないものとして展開する。

   $$E^2=c^2\sum _i{\alpha }_i^2{p}_i^2+c^2\sum _{i<j}({\alpha }_i{\alpha }_j+{\alpha }_j{\alpha }_i)p_i{p}_j+m{c}^3\sum _i({\alpha }_i\beta +\beta {\alpha }_i)p_i+{\beta }^2{m}^2{c}^4$$

5. 4 が 1 と同じになる条件は、どれも 2 乗すると 1 で、2 つを入れ替えると符号が変わることである。

   $${\alpha }_i^2={\beta }^2=1,{\alpha }_i{\alpha }_j+{\alpha }_j{\alpha }_i=0(i\ne j),{\alpha }_i\beta +\beta {\alpha }_i=0$$

6. ふつうの数ではこの条件を満たせない。行列なら満たせる。条件から各行列の固有値は $\pm 1$ が同じ数ずつになり、大きさは偶数に限られる。2 行 2 列ではこの性質を持つものが 3 つ(パウリ行列 ${\sigma }_i$)までしか取れないので、最小は 4 行 4 列である。

   $$\beta =\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right),{\alpha }_i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_i\\ {\sigma }_i& 0\end{array}\right)$$

7. 3 に置き換えを入れると、4 成分の $\psi$ に対する、時間について 1 階の式になる。これがディラック方程式である。

   $$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=(-i\hslash c\mathbf{\alpha }\cdot \nabla +\beta m{c}^2)\psi$$

8. 両辺を $c$ で割って左から $\beta$ を掛け、${\gamma }^0=\beta$、${\gamma }^i=\beta {\alpha }_i$、$x^0=ct$ と書くと、記事の顔の形になる。

   $$\left(i\hslash {\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-mc\right)\psi =0$$

9. 平面波を入れると、エネルギーは 2 つの符号を持つ。負の側が、ディラックの海と陽電子の出発点になった。

   $$E=\pm \sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}$$

4 つの成分のうち 2 つはスピンの上向きと下向き、残り 2 つは負のエネルギーの側に対応する。スピンは仮定として入れたのではなく、行列が 4 行 4 列になったことから出てきた。

実験との照合は 3 つの段階で進んだ。g 因子 2 と水素の微細構造は、発表の直後から既にあった測定と合った。陽電子は 1932 年に見つかった。1947 年には水素の 2 つの準位のわずかなずれ(ラムシフト)が、続いて電子の g 因子が 2 より 0.1 % ほど大きいことが測られた。これはディラック方程式に、光との相互作用を量子論で足した量子電磁力学で説明され、電子の g 因子は今では 2.002 319 304… まで、理論と実験が合っている。