ロトカ・ヴォルテラ方程式

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ はどれも正の定数とする。式が予言する「閉じた周期」と「ヴォルテラの原理」を導く。

1. 両方の数が変わらない点(釣り合いの点)は、2 つの式の右辺を 0 とおいて

   $$x^{\ast }=\frac{\gamma }{\delta },y^{\ast }=\frac{\alpha }{\beta }$$

2. 2 つの式を割り算して、時間を消す。

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{y(\delta x-\gamma )}{x(\alpha -\beta y)}$$

3. 変数を分ける。

   $$\frac{\alpha -\beta y}{y}dy=\frac{\delta x-\gamma }{x}dx$$

4. 両辺を積分し、定数をまとめる。

   $$V(x,y)=\delta x-\gamma \ln x+\beta y-\alpha \ln y=\text{一定}$$

5. $V$ は釣り合いの点で最小になる下に凸な関数なので、$V$ が一定の線は釣り合いの点を囲む閉じた曲線になる。数の組はその上を回り続け、同じ増減を繰り返す。周期を $T$ とする。

   $$x(t+T)=x(t),y(t+T)=y(t)$$

6. えさの式を $x$ で割ると $(\ln x{)}^{\prime }=\alpha -\beta y$。1 周期にわたって積分すると、左辺は $\ln x$ がもとに戻るので 0 になる。

   $$0={\int }_0^T(\alpha -\beta y)dt⟹\bar{y}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}ydt=\frac{\alpha }{\beta }$$

7. 同じように食べる側の式から

   $$\bar{x}=\frac{\gamma }{\delta }$$

8. 漁が、どちらの魚も同じ割合 $\epsilon$ でとるとする。$\alpha$ は $\alpha -\epsilon$ に、$\gamma$ は $\gamma +\epsilon$ に変わり、平均は

   $$\bar{x}=\frac{\gamma +\epsilon }{\delta },\bar{y}=\frac{\alpha -\epsilon }{\beta }$$

手順 8 がヴォルテラの原理である。漁が減る($\epsilon$ が小さくなる)と、えさの平均は減り、食べる側の平均は増える。戦争中のアドリア海で起きたことと向きが一致する。

釣り合いの点の近くの小さな揺れは、式を 1 次の近似にすると単振動になり、周期は $T\approx 2\pi /\sqrt{\alpha \gamma }$ になる。食べる側の山は、えさの山より 4 分の 1 周期ほど遅れて来る。

この式は、実際の生き物の数の細かい動きまでは表さない。えさが無限に増えられるという仮定を、えさにも上限がある形に直すと、閉じた曲線は渦を巻いて釣り合いの点に吸い込まれる。カナダのハドソン湾会社が買い取った毛皮の数に見えるカンジキウサギとオオヤマネコの約 10 年の周期は、この式の例としてよく引かれる。しかし、記録の一部ではウサギの山がネコより遅れて見え、1973 年には「ウサギがオオヤマネコを食べるのか」と題した論文が出た。ウサギの周期には、えさの植物や病気も関わっていると考えられている。