ニュートリノ振動

ミューとタウの 2 種類だけが混ざるとして、確率の式を導く。$\hslash =c=1$ の自然単位を使う。

1. 種類の決まった状態は、質量の決まった 2 つの状態 ${\nu }_2$・${\nu }_3$ を角度 $\theta$ で回して重ね合わせたものである。

   $$|{\nu }_{\mu }⟩=\cos \theta |{\nu }_2⟩+\sin \theta |{\nu }_3⟩,|{\nu }_{\tau }⟩=-\sin \theta |{\nu }_2⟩+\cos \theta |{\nu }_3⟩$$

2. 質量の決まった状態は、それぞれの運動量 $p_k$ の波として進む(波長は $2\pi /p_k$。ド・ブロイ波長)。同じエネルギー $E$ で生まれたとし、共通の時間の因子 $e^{-iEt}$ を除くと、距離 $L$ のあとの状態は(シュレーディンガー方程式)

   $$|\nu (L)⟩=\cos \theta e^{i{p}_{2}L}|{\nu }_2⟩+\sin \theta e^{i{p}_{3}L}|{\nu }_3⟩$$

3. これがタウニュートリノとして見つかる振幅は、$|{\nu }_{\tau }⟩$ との内積である。

   $$A=⟨{\nu }_{\tau }|\nu (L)⟩=\sin \theta \cos \theta \left(e^{i{p}_{3}L}-e^{i{p}_{2}L}\right)$$

4. 確率は振幅の絶対値の 2 乗である。$|e^{i\phi }-1{|}^2=2-2\cos \phi =4{\sin }^2(\phi /2)$(オイラーの公式)と $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ を使う。

   $$P=|A{|}^2={\sin }^{2}2\theta {\sin }^2\frac{(p_2-p_3)L}{2}$$

5. 質量 $m_k$ の粒子では $E^2=p_k^2+m_k^2$ である(質量とエネルギーの等価性)。ニュートリノでは $E\gg m_k$ なので、$\sqrt{1-x}\approx 1-x/2$ を使う。

   $$p_k=\sqrt{E^2-m_k^2}\approx E-\frac{m_k^2}{2E}$$

6. 差をとると $E$ が消え、質量の 2 乗の差 $\Delta m^2=m_3^2-m_2^2$ だけが残る。

   $$p_2-p_3\approx \frac{m_3^2-m_2^2}{2E}=\frac{\Delta m^2}{2E}$$

7. 4 に入れると、ミューがタウに変わる確率になる。

   $$P({\nu }_{\mu }\to {\nu }_{\tau })={\sin }^{2}2\theta {\sin }^2\left(\frac{\Delta m^{2}L}{4E}\right)$$

8. 単位を戻すと、位相は $\Delta m^2{c}^{4}L/(4\hslash cE)$ である。$\hslash c=1.973\times 10^{-7}$ eV·m を使い、$\Delta m^2$ を eV²、$L$ を km、$E$ を GeV で測ると、係数は $10^3/(4\times 1.973\times 10^{-7}\times 10^9)=1.267$ になる。

   $$P({\nu }_{\mu }\to {\nu }_{\tau })={\sin }^{2}2\theta {\sin }^2\left(1.27\frac{\Delta m^2[{\mathrm{eV}}^2]L[\mathrm{km}]}{E[\mathrm{GeV}]}\right)$$

9. 種類は 2 つしかないので、ミューのまま残る確率は

   $$P({\nu }_{\mu }\to {\nu }_{\mu })=1-{\sin }^{2}2\theta {\sin }^2\left(\frac{\Delta m^{2}L}{4E}\right)$$

$\Delta m^2=0$ なら、確率はいつも 0 である。2 つの質量が等しければ(とくに両方とも 0 なら)種類は変わらない。振動が見えれば、少なくとも 1 つのニュートリノは質量を持つ。

2 では 2 つの状態のエネルギーを等しいとした。運動量を等しいとしても同じ式になる。3 種類では、3 × 3 の行列で混ざる式に広がる。地球の中の電子は、W ボソンを交換する反応(荷電カレント)を電子ニュートリノとだけ起こし、その進み方を変える。Z ボソンを交換する反応(中性カレント)は 3 種類に同じだけ効き、どの種類の位相もそろってずらすだけなので、確率には現れない。そのためミューとタウは物質の中でも同じように進み、2 つの間の振動には真空の式がそのまま使える。1998 年の論文も、物質の効果はミューと電子の振動の計算にだけ入れている。

式の形は、実験で 1 つずつ確かめられた。2004 年、スーパーカミオカンデは $L/E$ をよく決められる事象だけを選び、ミューのまま残る割合が 500 km/GeV のあたりで谷になることを示した。2013 年には、変わった先のタウニュートリノの反応が、標準偏差の 3.8 倍の確かさで見つかった。