ドレイク方程式

ドレイク方程式は、2 つの考えを組み合わせて作られている。文明が生まれる速さを、条件を 1 つずつ重ねた掛け算で書くこと。そして、生まれる速さと続く長さから、ある時点にいる数を出すことである。

1. 銀河系で 1 年に生まれる星の数を $R_{\ast }$ とする。そのうち惑星を持つ割合 $f_p$、1 つの惑星系の中で生命が住める惑星の数 $n_e$ を掛けると、住める惑星が 1 年に生まれる数になる。

   $$R_{\ast }{f}_p{n}_e$$

2. 住める惑星で生命が生まれる割合 $f_l$、生命が知性に育つ割合 $f_i$、知性が宇宙へ届く電波を出す技術を持つ割合 $f_c$ を掛ける。各割合は、前の条件が満たされたときの条件つきの確率である。こうして、電波を出す文明が 1 年に生まれる数 $\lambda$ が決まる。

   $$\lambda =R_{\ast }{f}_p{n}_e{f}_l{f}_i{f}_c$$

3. 文明はそれぞれ $L$ 年だけ電波を出し続けるとする。時刻 $t$ に電波を出しているのは、$t-L$ から $t$ までに生まれた文明である。

   $$N(t)={\int }_{t-L}^t\lambda d{t}^{\prime }$$

4. $\lambda$ が長い間変わらないなら、積分は長さ $L$ の区間で $\lambda$ を足すだけになる(生まれる速さ × 続く長さ = いる数)。

   $$N=\lambda L$$

5. 2 と 4 から、ドレイク方程式になる。

   $$N=R_{\ast }\cdot f_p\cdot n_e\cdot f_l\cdot f_i\cdot f_c\cdot L$$

6. 1961 年の値の小さいほうをすべて入れると

   $$N=1\times 0.2\times 1\times 1\times 1\times 0.1\times 1000=20$$

7. 大きいほうをすべて入れると

   $$N=1\times 0.5\times 5\times 1\times 1\times 0.2\times 10^8=5\times 10^7$$

8. 掛け算は、対数をとると足し算になる。各項の不確かさが「何桁」の単位なら、答えの不確かさは桁の数の足し算で広がる。

   $$\log N=\log R_{\ast }+\log f_p+\log n_e+\log f_l+\log f_i+\log f_c+\log L$$

4 の「生まれる速さ × 続く長さ = いる数」は、店の客の数や、ある病気にかかっている人の数を見積もるときにも使う一般的な関係である。この式は正しさを実験で確かめる種類のものではない。各項の値がどこまで確かかが、答えのすべてを決める。2018 年にはアンダース・サンドバーグらが、各項の不確かさを桁の幅ごと計算に入れると、銀河系に地球の文明しかいない確率がかなり大きく出る、という分析を発表した。