重力波のチャープ質量

ニュートンの重力で円の軌道を回る 2 つの点の質量が、四重極の公式のぶんだけエネルギーを失うとして、振動数の上がる速さを導く。軌道は、1 周の間にはほとんど変わらないほどゆっくり縮むとする。

1. 質量を $m_1$・$m_2$、合計を $M=m_1+m_2$、換算質量を $\mu =m_1{m}_2/M$ とする。2 つの間の距離を $a$、回る角速度を $\omega$ とすると、ケプラーの第三法則から

   $${\omega }^2{a}^3=GM$$

2. 軌道のエネルギーは、運動エネルギーと万有引力の位置エネルギーの和である。

   $$E=-\frac{G{m}_1{m}_2}{2a}=-\frac{GM\mu }{2a}$$

3. 一方から見たもう一方の位置を $(a\cos \omega t,a\sin \omega t)$ とする。重心のまわりの質量の 2 次のモーメント $I_{ij}=\mu x_i{x}_j$ は、倍角の公式で書き直すと

   $$\begin{array}{rl}{I}_{xx}& =\frac{\mu a^2}{2}(1+\cos 2\omega t),I_{yy}=\frac{\mu a^2}{2}(1-\cos 2\omega t)\\ I_{xy}& =I_{yx}=\frac{\mu a^2}{2}\sin 2\omega t\end{array}$$

4. どの成分も $2\omega$ で振動する。半周すると、質量の並び方が同じ形に戻るからである。重力波の振動数は公転の振動数の 2 倍になる。

   $$f=2\times \frac{\omega }{2\pi }=\frac{\omega }{\pi }$$

5. 四重極の公式では、出ていく重力波の仕事率は、$I_{ij}$ から跡を除いた $Q_{ij}$ の 3 回の時間微分で決まる。$I_{xx}+I_{yy}=\mu a^2$ は時間で変わらないので、3 回微分すると $Q_{ij}$ と $I_{ij}$ は同じになる。

   $$P=\frac{G}{5c^5}\sum _{i,j}{\left({\stackrel{...}{Q}}_{ij}\right)}^2=\frac{G}{5c^5}\sum _{i,j}{\left({\stackrel{...}{I}}_{ij}\right)}^2$$

6. 3 の式を 3 回微分する。

   $$\begin{array}{rl}{\stackrel{...}{I}}_{xx}& =-{\stackrel{...}{I}}_{yy}=4\mu a^2{\omega }^3\sin 2\omega t\\ {\stackrel{...}{I}}_{xy}& ={\stackrel{...}{I}}_{yx}=-4\mu a^2{\omega }^3\cos 2\omega t\end{array}$$

7. 2 乗して 4 つの成分を足すと、${\sin }^2+{\cos }^2=1$ により時刻によらない値になる。 $P=\frac{G}{5c^5}\times 16{\mu }^2{a}^4{\omega }^6\times 2=\frac{32}{5}\frac{G}{c^5}{\mu }^2{a}^4{\omega }^6$ 1 の式で $\omega$ を消すと $P=\frac{32}{5}\frac{G^4{m}_1^2{m}_2^2(m_1+m_2)}{c^5{a}^5}$ で、ピーターズとマシューズの式で離心率を 0 にしたものと同じになる。

8. 1 から $a=(GM/{\omega }^2{)}^{1/3}$ である。これを入れて、$E$ と $P$ を $\omega$ だけで書く。

   $$\begin{array}{rl}E& =-\frac{1}{2}\mu (GM\omega {)}^{2/3}\\ P& =\frac{32}{5}\frac{G}{c^5}{\mu }^2(GM{)}^{4/3}{\omega }^{10/3}\end{array}$$

9. 重力波が運び去る分だけ、軌道のエネルギーは減る($dE/dt=-P$)。8 の $E$ を時間で微分すると $\frac{dE}{dt}=-\frac{1}{3}\mu (GM{)}^{2/3}{\omega }^{-1/3}\dot{\omega }$ $E$ が減ると $\omega$ は増える。軌道は縮み、回る速さは上がる。

10. 9 と $-P$ を等しいと置いて $\dot{\omega }$ を出すと、質量は $\mu M^{2/3}$ の形でしか残らない。

    $$\begin{array}{rl}\dot{\omega }& =\frac{96}{5}\frac{G^{5/3}}{c^5}\mu M^{2/3}{\omega }^{11/3}\\ \mu M^{2/3}& =\frac{m_1{m}_2}{(m_1+m_2{)}^{1/3}}={\mathcal{M}}^{5/3}\end{array}$$

11. 4 の $\omega =\pi f$ を入れる($\dot{\omega }=\pi \dot{f}$)。

    $$\dot{f}=\frac{96}{5}{\pi }^{8/3}{\left(\frac{G\mathcal{M}}{c^3}\right)}^{5/3}{f}^{11/3}$$

12. $\mathcal{M}$ について解くと、記事の顔の式になる。

    $$\mathcal{M}=\frac{c^3}{G}{\left[\frac{5}{96}{\pi }^{-8/3}{f}^{-11/3}\dot{f}\right]}^{3/5}$$

13. $\frac{d}{dt}{f}^{-8/3}=-\frac{8}{3}{f}^{-11/3}\dot{f}$ なので、11 は $f^{-8/3}$ が一定の速さで減ることを表す。振動数が限りなく大きくなる時刻を $t_c$ とすると

    $$f^{-8/3}=\frac{256}{5}{\pi }^{8/3}{\left(\frac{G\mathcal{M}}{c^3}\right)}^{5/3}(t_c-t)$$

係数の $96/5$ は、7 の $32/5$ に 3 を掛けたものである。この 3 は、8 の $E$ の係数 $1/2$ と、${\omega }^{2/3}$ を微分して出る $2/3$ の積 $1/3$ の逆数である。その 32 は、2 倍の振動数で 3 回微分したことによる $2^6=64$ に、3 の式の $(1/2{)}^2$ と、4 つの成分を足して出る 2 を掛けた数である。$G\mathcal{M}/c^3$ は時間の次元を持ち、太陽の質量なら $G{M}_{\odot }/c^3=4.93\times 10^{-6}$ 秒になる。$\mathcal{M}={\mu }^{3/5}{M}^{2/5}$ とも書け、2 つの質量が等しいと $\mathcal{M}=2^{-1/5}m\approx 0.87m$ である。

この式が使えるのは、速さが光よりずっと小さい間である。速くなると、$v/c$ の冪の補正が加わる(ポスト・ニュートン近似)。「最後の 3 分」の式では、1 つ上の補正の係数が $\frac{743}{336}+\frac{11}{4}\frac{\mu }{M}$ で、質量の比が入る。スピンの効果はさらに上の項から入る。主な項だけで決まる $\mathcal{M}$ がいちばん精密に測れ、補正の項から質量の比やスピンが読める。GW150914 では、検出器の感度のよい帯域で $v/c$ は 0.2 から 0.5 だった。離心率は重力波で小さくなっていくので(ピーターズ 1964)、合体の近くの連星は円の軌道とみなせる。遠くの源では、宇宙の膨張で振動数が $1+z$ 分の 1 に下がって届く。式の中の質量は $G\mathcal{M}f/c^3$ の形でしか現れないので、検出器で測る $\mathcal{M}$ は、源での値の $1+z$ 倍になる。