ローレンツ変換

図で納得する

地上に立つ人と、速さ$v$で走る電車に乗る人が、同じ1つの出来事を見るとしよう。地上の人はそれを場所$x$、時刻$t$に起きたと記録し、電車の人は電車の物差しと時計で測って、場所$x^{\prime }$、時刻$t^{\prime }$と記録する。ローレンツ変換は、この2つの記録を結ぶ式である。

$x^{\prime }$の「′」はダッシュと読み、電車から測った値の印だ。ふだんの速さなら、電車の原点は時刻$t$までに$vt$だけ進むので、電車の中の場所は$x^{\prime }=x-vt$、時刻は$t^{\prime }=t$と考えてよい。

ところが、光の速さ$c=3.00\times 10^8$ m/sがどちらから見ても同じだとすると、この考えでは合わない。地上で速さ$c$の光は、電車から見ると$c-v$に遅くなってしまうからだ。

では、光の速さが同じなら何が変わるのか。上下2枚の鏡の間を光が往復する「光の時計」を電車に積んでみる。電車の人には光がまっすぐ上下するだけだが、地上の人には鏡が横へ動くので、光は斜めの長い道を進んで見える。

光の速さが同じなら、長い道を進む分だけ時間がかかる。$t_0$を電車の時計で測った時間、$t$を地上の時計で測った時間とすると、三平方の定理から$(ct{)}^2=(vt{)}^2+(c{t}_0{)}^2$が成り立つ。両辺から$(vt{)}^2$を引いて左辺を$t^2$でくくり、両辺を$c^2-v^2$で割ってから、分母と分子を$c^2$で割って平方根をとる。

$$\begin{array}{rl}{t}^2(c^2-v^2)& =c^2{t}_0^2\\ t^2& =\frac{c^2{t}_0^2}{c^2-v^2}=\frac{t_0^2}{1-v^2/c^2}\\ t& =\frac{t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{array}$$

地上の時計では、電車の時計の$\gamma$倍に延びて見える。この$\gamma$は次の形をしている。

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

γ（ガンマ）はローレンツ因子と呼ばれる。新幹線の時速300 kmでも、γは1より$3.9\times 10^{-14}$大きいだけ。ふだんの暮らしで差に気づかないのは、このためだ。ところが光の速さの60%なら1.25、99%なら7.09になる。

横軸に場所$x$、縦軸に$ct$をとった図を時空図という。$ct$は時刻に光の速さを掛けた値で、光がその時間に進む距離にあたる。光は$x=ct$を進むので、時空図では横と縦が同じだけ増える45°の斜めの線になる。

つまみで電車の速さを上げると、電車の時間の軸と同時の線が、はさみを閉じるように光の線へ寄っていく。光の線を進む2つの点は光の先、中の抜けた丸は電車の原点で、光の線はいつも45°のまま、どちらの立場でも光の速さは$c$だ。同時の線の上の3点は電車にとって同時に起きた出来事だが、地上の時間の軸へ引いた点線の高さはそろわない。

なぜ同時がずれるのか。電車の真ん中で光らせると、電車の人には光が前と後ろに同時に届く。地上の人から見ると、後ろの壁は光に向かって近づき、前の壁は逃げていくので、光は後ろに先に届くのだ。

式で確かめる

道すじは2段。電車の原点の動きと相対性原理から式の形を決め、光の速さが両方で$c$になる条件から$\gamma$を求める（手順1〜11）。次に、場所の式を時刻について解き直して$t^{\prime }$を出す（手順12〜21）。

γを決める

1. 電車の原点（$x^{\prime }=0$）は地上で$x=vt$を進むので、$x^{\prime }$は$x-vt$に比例するとおき、比例の係数を$\gamma$とする

   $$x^{\prime }=\gamma (x-vt)$$

2. 電車から見ると地上は$-v$で動くので、相対性原理から同じ形の式が成り立つ

   $$x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })$$

3. 時刻0に原点を出た光の先は、どちらから見ても速さ$c$で進む

   $$x=ct,x^{\prime }=c{t}^{\prime }$$

4. 手順3を手順1に入れる

   $$c{t}^{\prime }=\gamma (c-v)t$$

5. 手順3を手順2に入れる

   $$ct=\gamma (c+v)t^{\prime }$$

手順4と手順5は、同じ1本の光を2つの立場で見た式だ。光の速さを両方で$c$にするという条件が、$\gamma$の値を決める。

6. 手順4と手順5の左辺どうし、右辺どうしを掛ける

   $$c^{2}t{t}^{\prime }={\gamma }^2(c-v)(c+v)t{t}^{\prime }$$

7. 両辺を$t{t}^{\prime }$で割る

   $$c^2={\gamma }^2(c-v)(c+v)$$

8. かっこを展開する

   $$c^2={\gamma }^2(c^2-v^2)$$

9. 両辺を$c^2-v^2$で割る

   $${\gamma }^2=\frac{c^2}{c^2-v^2}$$

10. 分母と分子を$c^2$で割る

    $${\gamma }^2=\frac{1}{1-v^2/c^2}$$

11. 正の平方根をとる

    $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

光の時計で出した$\gamma$と同じ式が、別の道から出てきた。速さが光に近づくと分母の根号の中が0に近づき、$\gamma$は限りなく大きくなる。

時刻の式を出す

12. 手順2の$x^{\prime }$に手順1を入れる

    $$x=\gamma (\gamma (x-vt)+v{t}^{\prime })$$

13. 両辺を$\gamma$で割る

    $$\frac{x}{\gamma }=\gamma (x-vt)+v{t}^{\prime }$$

14. $\gamma (x-vt)$を左辺へ移し、左右を入れかえる

    $$v{t}^{\prime }=\frac{x}{\gamma }-\gamma (x-vt)$$

15. 手順10の両辺の逆数をとる

    $$\frac{1}{{\gamma }^2}=1-\frac{v^2}{c^2}$$

16. 両辺に$\gamma$を掛ける

    $$\frac{1}{\gamma }=\gamma \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)$$

17. 手順14の$\frac{x}{\gamma }$に手順16を入れる

    $$v{t}^{\prime }=\gamma x\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)-\gamma (x-vt)$$

18. 2つのかっこを開く

    $$v{t}^{\prime }=\gamma x-\gamma \frac{v^{2}x}{c^2}-\gamma x+\gamma vt$$

19. $\gamma x$と$-\gamma x$が打ち消し合う

    $$v{t}^{\prime }=\gamma vt-\gamma \frac{v^{2}x}{c^2}$$

20. 両辺を$v$で割る

    $$t^{\prime }=\gamma t-\gamma \frac{vx}{c^2}$$

21. 右辺を$\gamma$でくくる

    $$t^{\prime }=\gamma \left(t-\frac{vx}{c^2}\right)$$

数で確かめてみよう。$v=0.6c$なら$\gamma =1.25$で、光は1 μs（100万分の1秒）に300 m進む。地上で$x=600$ m、$t=1.00$ μsに起きた出来事は、電車では次の場所と時刻になる。

$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =1.25\times (600-180)=525\mathrm{m}\\ t^{\prime }& =1.25\times (1.00-1.20)=-0.25\mu \mathrm{s}\end{array}$$

$vt$は光が0.6 μsに進む180 m、$\frac{vx}{c^2}=\frac{0.6\times 600\mathrm{m}}{c}$は光が360 m進む時間の1.20 μsだ。電車では、この出来事が時刻0より前に起きたことになる。それでも$(ct{)}^2-x^2$は、地上で$300^2-600^2$、電車で$75^2-525^2$と、どちらも$-270000$ m²にそろう。