宇宙の加速膨張

この証明の道すじ　等級の決まり（5等で100倍）を、明るさの比の式にする。光が距離の2乗で薄まることから、同じ超新星を距離$d_L$に置いたときと10 pcに置いたときの明るさを比べる。2つを合わせると公式になる。

$d_L$は光度距離と呼ぶ距離で、光が距離の2乗で薄まるとして、見た明るさから決める。近くの星では、ふつうの距離と同じになる。

公式の$m$と$M$は等級で、数が大きいほど暗い。1等と6等の差は5等で、明るさは100倍違う。5等で100倍なので、1等ごとに約2.5倍ずつ暗くなる。2.5を5回掛けると約100になる、と覚えておけばよい。

公式に出てくる${\log }_{10}$（ログ10）は、「10を何回掛けるとその数になるか」を表す記号である。$10\times 10=100$なので${\log }_{10}100=2$、10を3回掛けると1000なので${\log }_{10}1000=3$になる。1は10を1回も掛けていないので${\log }_{10}1=0$である。

回数は整数とは限らない。1と10のあいだの数は0と1のあいだの値になり、${\log }_{10}2=0.301$、${\log }_{10}31.6=1.5$となる。つまり、${\log }_{10}$は、数が10倍になるたびに1ずつ増える目盛りである。詳しい性質は対数の法則で読める。

1. 2つの星の等級を$m_1$、$m_2$、明るさを$F_1$、$F_2$とし、等級の差を明るさの比で書く。100倍は10倍を2回重ねたものなので、明るさが10倍になるたびに等級は5の半分の2.5ずつ小さくなる。10倍が何回あるかは${\log }_{10}$で数えられる

   $$m_1-m_2=-2.5{\log }_{10}\frac{F_1}{F_2}$$

2. 超新星が1秒に出す光のエネルギー（光度）を$L$とする。光は半径$d$の球の表面全体に広がるので、球の面積$4\pi d^2$で割ると、地球に届く明るさになる

   $$F=\frac{L}{4\pi d^2}$$

たとえば、手順1に$F_1/F_2=100$を入れると、${\log }_{10}100=2$なので$m_1-m_2=-5$になる。100倍明るい星は、等級が5小さい。

3. 同じ超新星を距離$d_L$に置いたときの明るさ$F$と、10 pcに置いたときの明るさ$F_{10}$の比をとる。分母と分子にある$L$と$4\pi$は約分されて消え、$(10\mathrm{pc}{)}^2$を$d_L^2$で割った形が残る

   $$\frac{F}{F_{10}}=\frac{L/(4\pi d_L^2)}{L/(4\pi (10\mathrm{pc}{)}^2)}={\left(\frac{10\mathrm{pc}}{d_L}\right)}^2$$

4. 手順1の$m_1$を$m$、$m_2$を$M$とし、手順3の比を代入する

   $$m-M=-2.5{\log }_{10}{\left(\frac{10\mathrm{pc}}{d_L}\right)}^2$$

5. 2乗の対数は、対数の2倍になる（${\log }_{10}{x}^2=2{\log }_{10}x$）。2.5と2を掛けて5にする

   $$m-M=-5{\log }_{10}\frac{10\mathrm{pc}}{d_L}$$

6. 分数を逆さにすると、対数は符号だけが変わる（${\log }_{10}\frac{1}{x}=-{\log }_{10}x$）。マイナスどうしが打ち消し合う

   $$m-M=5{\log }_{10}\frac{d_L}{10\mathrm{pc}}$$

数を入れてみる。$d_L=1000$ pcなら$d_L/10\mathrm{pc}=100$で、$m-M=5\times 2=10$になる。10 pcより100倍遠い星は、明るさが1万分の1になり、等級では10等暗く見える。

$m-M$を距離指数と呼ぶ。距離を10倍にするたびに、距離指数は5ずつ増える。1 pcで−5、10 pcで0、100 pcで5となり、『天文学辞典』の例とも合う。

図で納得する

近くの星なら、$d_L$はふつうの距離と同じである。ところが数十億光年先の超新星では、光が届くまでのあいだに宇宙そのものが広がるので、考えることが1つ増える。

手がかりは赤方偏移$z$だ。光は波で、山から山までの長さを波長といい、赤い光ほど波長が長い。宇宙が広がると、旅をする光の波長も同じ割合で伸び、色が赤い側へずれる。

光が出てから届くまでに宇宙が$1+z$倍に広がっていれば、波長も$1+z$倍になる（ハッブル・ルメートルの法則）。近い銀河のずれは、ドップラー効果と同じ式で遠ざかる速さに直せる。

では、同じ$z$の超新星は、どの宇宙でも同じ距離にあるのだろうか。そうではない。

$z=0.5$なら、どの宇宙でも光は、宇宙が1.5倍に広がるあいだ旅をしてきた。ただ、1.5倍に広がるのにかかる時間が宇宙ごとに違う。

いまの膨張の速さが同じなら、昔の膨張がゆっくりだった宇宙ほど、広がるのに長くかかる。昔はゆっくりで今は速い宇宙、つまり加速している宇宙がそれにあたる。

旅の時間が長ければ、光はそのぶん長い道のりを進んできたことになる。同じ$z$の超新星が予想より遠く、暗く見えたのは、このためだった。

$z=0.5$で比べると、光が出たのは、減速する宇宙で42億年前、一定の速さで広がる宇宙で47億年前、加速する宇宙で50億年前になる。いまの膨張の速さはハッブル定数$H_0$で表し、銀河までの距離が1 Mpc（メガパーセク、100万pc＝326万光年）増えるごとに、遠ざかる速さが毎秒何km増えるかを示す。値は3つとも70 km/s/Mpcにそろえ、加速する宇宙は物質3割と暗黒エネルギー7割として、当サイトで計算した。

式で確かめる

光度距離は、宇宙の膨張の式から計算できる。積分を使う、大学で習う内容である。

7. 手順2の両辺に$d^2$を掛けて$F$で割り、平方根をとって$d$について解く。こうして明るさから決めた距離が、光度距離$d_L$である

   $$d_L=\sqrt{\frac{L}{4\pi F}}$$

8. 光が届いたいま、超新星があった銀河までの距離を$D$とすると、光は半径$D$の球面に広がっている。膨張する宇宙では、さらに光の粒1つのエネルギーが$1/(1+z)$に減り、粒が届く間隔も$1+z$倍に延びるので、明るさは$(1+z{)}^2$分の1になる

   $$F=\frac{L}{4\pi D^2(1+z{)}^2}$$

9. この$F$を手順7の式に代入する。$L$と$4\pi$が約分され、平方根をとると次の形になる

   $$d_L=(1+z)D$$

$D$を出すには、光が旅をした時代ごとの膨張の速さが要る。赤方偏移$z$のころの膨張の速さを$H(z)$と書き、いまの値が$H_0$である。$z$が少し増えるあいだに光が進む道のりは、そのころの膨張がゆっくりだった宇宙ほど長い。

10. そこで、光の速さ$c$を$H$で割ったものを、$z=0$から光が出た$z$まで細かく区切って足し合わせる。$\int$はこの「細かく区切って足し合わせる」を表す記号で、$z^{\prime }$は0から$z$まで動かす途中の値である

    $$D=c{\int }_0^z\frac{d{z}^{\prime }}{H(z^{\prime })}$$

11. 空間が平らな（曲がっていない）宇宙では、$H$は物質の割合${\Omega }_M$と暗黒エネルギーの割合${\Omega }_{\Lambda }$で決まる（${\Omega }_M+{\Omega }_{\Lambda }=1$）

    $$H(z)=H_0\sqrt{{\Omega }_M(1+z{)}^3+{\Omega }_{\Lambda }}$$

宇宙が今の$1/(1+z)$の大きさだったころ、物質は縦・横・高さが縮んだぶん$(1+z{)}^3$倍濃かった。暗黒エネルギーは、宇宙が広がっても薄まらない。膨張の速さの2乗がこの2つの濃さの合計に比例するので、平方根の中に2つが並ぶ。

12. 物質だけの宇宙（${\Omega }_M=1$、${\Omega }_{\Lambda }=0$）では積分を手で計算でき、次の式になる。$z=0.5$、$H_0=70$ km/s/Mpcで2,358 Mpcである

    $$d_L=\frac{2c}{H_0}(1+z)\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+z}}\right)$$

13. 物質も暗黒エネルギーも無い空っぽの宇宙では、膨張の速さが変わらない。空間の曲がりも入れて計算すると次の式になり、$z=0.5$で2,677 Mpcである

    $$d_L=\frac{c}{H_0}z\left(1+\frac{z}{2}\right)$$

物質3割と暗黒エネルギー7割の宇宙では、手順10の積分を数値で計算して2,833 Mpcになる。距離指数に直すと、減速が41.86等、一定が42.14等、加速が42.26等で、加速と減速の差は0.40等。1998年の50個と比べるシミュレーションの3本の線は、この3つの宇宙の$d_L$を描いたものである。