宇宙のインフレーション

宇宙はどこでも一様で、どの向きにも同じとする。$a(t)$ は宇宙の大きさの倍率(スケール因子)、$H=\dot{a}/a$ は膨張の速さ(ハッブル・ルメートルの法則の $H$)、$\rho$ は質量に直した密度、$k$ は曲率の符号(閉じた宇宙で $+1$、平らで $0$、開いた宇宙で $-1$)である。

1. アインシュタイン方程式を一様な宇宙に使うと、フリードマン方程式になる。

   $$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}$$

2. 圧力 $p$ をもつものの密度は、次の式で変わる。真空のエネルギーは $p=-\rho c^2$ なので、膨らんでも薄まらない。宇宙項と同じ働きである。

   $$\dot{\rho }=-3H\left(\rho +\frac{p}{c^2}\right)=0$$

3. 曲率の項が小さくなれば、$H$ は一定になる。

   $$H=\sqrt{\frac{8\pi G}{3}{\rho }_{\mathrm{v}}}$$

4. $\dot{a}=Ha$ は、微分しても形の変わらない関数で解ける(ネイピア数 e)。大きさが $e$ 倍になった回数を $N$ と書く。

   $$a(t)=a_i{e}^{H(t-t_i)},N=\ln \frac{a_e}{a_i}$$

5. 1 の式を $H^2$ で割り、平らにする密度(臨界密度)${\rho }_c=3H^2/(8\pi G)$ との比 $\Omega =\rho /{\rho }_c$ で書く。

   $$|\Omega -1|=\frac{|k|c^2}{a^2{H}^2}$$

6. インフレーションの間は $H$ が一定なので、ずれは $e^{-2N}$ 倍になる。

   $$\frac{|\Omega -1{|}_e}{|\Omega -1{|}_i}={\left(\frac{a_i}{a_e}\right)}^2=e^{-2N}$$

7. そのあとの放射の時代($a\propto t^{1/2}$、$H=1/(2t)$)と物質の時代($a\propto t^{2/3}$、$H=2/(3t)$)には、ずれは増える。

   $$\begin{array}{rl}\text{放射}& :|\Omega -1|\propto t\propto a^2\\ \text{物質}& :|\Omega -1|\propto t^{2/3}\propto a\end{array}$$

8. 光が進む距離を、今の大きさに直して足す。中の $c/(aH)$ は見える範囲の大きさ(共動ハッブル半径)で、5 の分母と同じものである。

   $$\chi =\int \frac{cdt}{a}=\int \frac{c}{aH}d\ln a$$

9. インフレーションの間、$c/(aH)$ は $e^{-N}$ 倍に縮み、そのあとふたたび伸びる(図示の 1 枚目)。今の空全体が、始まりのときに見える範囲の中にあったなら、地平線の問題は消える。始まりの $|\Omega -1|$ を 1 ほどとすると、平らさも同じ条件になる。

   $$e^N\gtrsim \frac{a_e{H}_e}{a_0{H}_0}$$

10. 放射の時代は $a\propto 1/T$、$H\propto T^2$ なので $aH\propto T$、物質の時代は $aH\propto a^{-1/2}$ である。終わりの温度を $T_e=10^{15}$ GeV、放射と物質が等しくなった時を $T_{\mathrm{eq}}\approx 0.8$ eV・$z_{\mathrm{eq}}\approx 3400$ とする。

    $$\begin{array}{rl}N& \gtrsim \ln \frac{T_e}{T_{\mathrm{eq}}}+\frac{1}{2}\ln (1+z_{\mathrm{eq}})\\ & \approx 55.5+4.1\approx 60\end{array}$$

11. インフレーションを起こす場 $\varphi$ の 1 つの波は、波長が見える範囲よりずっと短いうちは、調和振動子と同じ式に従う。不確定性原理のため、いちばんエネルギーの低い状態でも振れ幅は 0 にならない。見える範囲の外へ出るときの大きさは、場の量子論で計算すると次になる($\hslash =c=1$)。

    $$\delta \varphi \approx \frac{H}{2\pi }$$

12. $\varphi$ が $\delta \varphi$ だけずれた場所では、インフレーションの終わりが $\delta t=\delta \varphi /\dot{\varphi }$ だけずれる。膨らんだ回数のむら $\zeta$ が、物質の密度のむらの種になる。

    $$\zeta =H\delta t\approx \frac{H^2}{2\pi \dot{\varphi }}$$

曲率があっても、$H$ を 3 の値として、閉じた宇宙では $a=(c/H)\cosh Ht$、開いた宇宙では $(c/H)\sinh Ht$ が 1 と 2 の厳密な解で、どちらもすぐ $e^{Ht}$ に近づく。10 の $N$ は模型による。プランクの 2018 年の論文は、今の平らさの精度から $N\gtrsim 34.2+\ln (T_e/1\text{TeV})$ を出している。$T_e=10^{15}$ GeV なら 62、1 TeV なら 34 である。11 は筋だけを示した。12 は 1982 年のグースとピの論文と同じ考え方で、相転移の終わる時刻が場所ごとにずれることが、むらを生む。

観測の手がかりは 1992 年に出た。COBE 衛星は空の温度のむらを 10° の角度でならして 30 ± 5 µK と測り、尺度によらない揺らぎと合うと報告した。プランクが測った $\zeta$ の大きさ $\sqrt{2.1\times 10^{-9}}\approx 4.6\times 10^{-5}$ から、大きな角度の温度のむら $\zeta /5\approx 9\times 10^{-6}$ が出る。2.7255 K に対する 30 µK は $1.1\times 10^{-5}$ で、桁が合う。WMAP は 9 年の観測をほかの観測と合わせて、揺らぎがわずかに傾いていることを 5σ で示した。プランクの 2018 年の結果は $n_s=0.9649\pm 0.0042$ で、尺度によらない $n_s=1$ から誤差の 8 倍離れている。平らさは 0.4 % の精度で確かめられた(${\Omega }_K=0.0007\pm 0.0037$、95 %)。