相対速度

直線上に東向きを正とする$x$軸をとり、物体A、Bの位置を$x_A$、$x_B$、速度を$v_A$、$v_B$とする。速度は向きを符号で表すので、西向きは負の数だ。A、Bの速度はどちらも一定で、地面から見たものとする。

1. Aを原点とする目盛りでBの位置を読む

   $$x_{AB}=x_B-x_A$$

2. 時間$\Delta t$の間の変化を両辺でとる

   $$\Delta x_{AB}=\Delta x_B-\Delta x_A$$

3. 両辺を$\Delta t$で割る

   $$\frac{\Delta x_{AB}}{\Delta t}=\frac{\Delta x_B}{\Delta t}-\frac{\Delta x_A}{\Delta t}$$

4. それぞれを速度に置き換える

   $$v_{AB}=v_B-v_A$$

$v_{AB}$をAに対するBの相対速度といい、添字は「見る側、見られる側」の順に読む。ところが右辺の引き算は「見られる側、見る側」の順で、添字とは並びが逆になる。誤りの出どころは、ここだ。

では、逆に書くと何が起きるのか。東向き20 m/sで進むAから、その東を西向き15 m/sで進むBを見る場合で考える。

5. $v_A=20$、$v_B=-15$を代入する

   $$v_{AB}=-15-20=-35m/s$$

6. 見る側をBに替える

   $$v_{BA}=20-(-15)=+35m/s$$

7. 一般に、入れ替えると符号だけが変わる

   $$v_{BA}=-v_{AB}$$

Aから見るとBは西向きに35 m/sで近づき、Bから見るとAは東向きに35 m/sで近づく。どちらも相手が自分のほうへ来る向きで、話が合う。手順5で引き算を逆にすると$+35$となるが、大きさが同じなので途中では気づきにくい。だから、出した数を言葉に戻して読む。「東向きに35 m/s」なら、東にいるBはさらに東へ遠ざかることになり、おかしいと分かる。

もっとも、添字の並びは本によって違う。たとえばマサチューセッツ工科大学（MIT）の力学の講義資料は、Aから見たBの速度を$v_{B/A}$と書き、見られる側を先に置く。添字だけに頼らず、どちらが見る側かを文で読みたい。

手順4を移項すると、速度の足し算になる。

8. $v_A$を右辺へ移す

   $$v_B=v_A+v_{AB}$$

これが合成速度だ。たとえば流れる川なら、岸から見た舟の速度は、川の流れの速度と、水から見た舟の速度の和になる。

文部科学省の解説によると、物理基礎で扱うのは同一直線上を等速直線運動する物体の合成速度と相対速度で、平面内の場合は科目「物理」に入る。平面では、同じ引き算を成分ごとにくり返す。

9. $x$成分と$y$成分のそれぞれに手順4を書く

   $$v_{ABx}=v_{Bx}-v_{Ax},v_{ABy}=v_{By}-v_{Ay}$$

10. 2本をベクトルの式にまとめる

    $${\vec{v}}_{AB}={\vec{v}}_B-{\vec{v}}_A$$