ベクトルの成分と大きさ

ベクトルは向きと大きさをもつ量で、平行移動して重なる矢印は同じものとみる。そこで始点を原点へ移す。終点の座標がそのまま成分になり、$\vec{a}=(a_1,a_2)$と書く。

1. 始点を原点に移し、終点をAとする

   $$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\mathrm{A}(a_1,a_2)$$

2. Aから$x$軸に垂線を下ろし足をHとする

   $$\mathrm{H}(a_1,0)$$

3. 直角をはさむ2辺の長さを絶対値で書く

   $$\mathrm{OH}=|a_1|,\mathrm{AH}=|a_2|$$

4. 直角三角形OHAで三平方の定理を使う

   $${\mathrm{OA}}^2=|a_1{|}^2+|a_2{|}^2$$

5. 実数の2乗では絶対値が外れる

   $${\mathrm{OA}}^2=a_1^2+a_2^2$$

6. OAは0以上なので平方根をとる

   $$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$$

手順3の絶対値は、成分が負のときに効く。$\vec{a}=(3,-4)$なら直角をはさむ2辺は3と4で、大きさは5だ。

$a_1$か$a_2$が0だと三角形はつぶれるが、式はそのまま使える。$\vec{a}=(-5,0)$なら$\sqrt{25}=5$となる。両方が0のベクトルが零ベクトル$\vec{0}$で、大きさは0、向きは考えない。逆に大きさが0なら$a_1^2+a_2^2=0$から2つの成分はどちらも0になるので、大きさが0のベクトルは零ベクトルしかない。

では、原点から出ていない矢印はどうか。始点をAに、終点をBに置くと、差の形で同じ式に戻る。

7. 終点の座標から始点の座標を引く

   $$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(b_1-a_1,b_2-a_2)$$

8. 手順6の式に入れる

   $$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{(b_1-a_1{)}^2+(b_2-a_2{)}^2}$$

数学IIの2点間の距離の公式と同じ式になった。つまり、ベクトルの大きさは距離を成分で書き直したものだ。

ベクトルを$k$倍すると、大きさはどう変わるのか。

9. 各成分を$k$倍する

   $$k\vec{a}=(k{a}_1,k{a}_2)$$

10. 手順6の式に入れて$k^2$でくくる

    $$|k\vec{a}|=\sqrt{k^2(a_1^2+a_2^2)}$$

11. $\sqrt{k^2}=|k|$を使う

    $$|k\vec{a}|=|k||\vec{a}|$$

12. $\vec{a}\ne \vec{0}$なら$k=\frac{1}{|\vec{a}|}$とする

    $$\left|\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\right|=1$$

手順11で$\sqrt{k^2}$を$k$と書くと、$k$が負のときに大きさが負になってしまう。$k=-2$なら、大きさは2倍で向きが逆だ。手順12で長さが1になったベクトルを単位ベクトルという。ハミルトンのversorは、これにあたる。

空間のベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$では、三平方の定理を2回使う。数学Cでは、座標とベクトルの考えが平面から空間へ広がることを学ぶ。

13. H$(a_1,a_2,0)$をとり、$xy$平面で三平方の定理を使う

    $${\mathrm{OH}}^2=a_1^2+a_2^2$$

14. 直角三角形OHAでもう一度使う

    $${\mathrm{OA}}^2={\mathrm{OH}}^2+a_3^2$$

15. 手順13を代入して平方根をとる

    $$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

では、成分がもっと増えたらどうなるのか。形は変わらない。$n$個の成分をもつベクトルの長さも、2乗の和の平方根で定める。