正弦定理

△ABC の外接円の中心を O、半径を $R$ とし、$BC=a$、$CA=b$、$AB=c$ とおく。まず角 $A$ が鋭角のときを考える。

1. 点 B を通る直径 BD を引く

   $$BD=2R$$

2. 弧 BC に対する円周角が等しいことを使う

   $$\angle BDC=\angle BAC=A$$

3. 直径に対する円周角が直角であることを使う

   $$\angle BCD=90^{\circ }$$

4. 直角三角形 BCD で正弦を書く

   $$\sin \angle BDC=\frac{BC}{BD}$$

5. 手順 1・2 と $BC=a$ を代入する

   $$\sin A=\frac{a}{2R}$$

6. $a$ を $\sin A$ で割った形に直す

   $$\frac{a}{\sin A}=2R$$

7. 角 B・角 C でも同じ手順をとる

   $$\frac{b}{\sin B}=2R,\frac{c}{\sin C}=2R$$

8. 3 つの式をつなぐ

   $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

角 $A$ が鈍角のときは、D が弦 BC をはさんで A と反対側に来る。四角形 ABDC は円に内接するので $\angle BDC=180^{\circ }-A$ となり、$\sin (180^{\circ }-A)=\sin A$ から同じ式が出る。角 $A$ が直角なら BC そのものが直径で、$a=2R$、$\sin A=1$ である。

外接円が同じなら、辺の長さは向かいの角の正弦だけで決まる。半径 5 の円に内接する三角形なら、$30^{\circ }$ の向かいの辺はどれも $10\sin 30^{\circ }=5$ で、$90^{\circ }$ の向かいの辺は直径の 10 になる。三角形の中では大きい角の向かいほど辺が長く、3 辺の比は $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$ になる。