ビュフォンの針

平行線の間隔を $d$、針の長さを $l\le d$ とする。針の中心から最も近い線までの距離を $x$、針と線のなす鋭い方の角を $\theta$ とする。でたらめに落とすとは、$x$ が $0$ から $d/2$ のどこにでも、$\theta$ が $0$ から $\pi /2$ のどこにでも、同じ確からしさで、互いに独立に決まることである。

1. $(\theta ,x)$ は、横 $\pi /2$・縦 $d/2$ の長方形の中に一様に散らばる。確率の密度は面積の逆数である。

   $$\frac{1}{(\pi /2)(d/2)}=\frac{4}{\pi d}$$

2. 針の端は、中心から線に垂直な向きに $(l/2)\sin \theta$ だけ離れている。針が線と交わるのは、それが $x$ 以上のときである。

   $$x\le \frac{l}{2}\sin \theta$$

3. 交わる確率は、長方形のうち手順 2 を満たす部分の面積に、密度を掛けたものである。

   $$P=\frac{4}{\pi d}{\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^{\frac{l}{2}\sin \theta }dxd\theta$$

4. 内側の積分は $\frac{l}{2}\sin \theta$ になる。

   $$P=\frac{4}{\pi d}\cdot \frac{l}{2}{\int }_0^{\pi /2}\sin \theta d\theta =\frac{2l}{\pi d}[-\cos \theta {]}_0^{\pi /2}$$

5. $[-\cos \theta {]}_0^{\pi /2}=0-(-1)=1$ なので、

   $$P=\frac{2l}{\pi d}$$

6. $n$ 本落として $c$ 本が交わったなら、$c/n\approx P$ と置いて $\pi$ について解く。

   $$\pi \approx \frac{2ln}{dc}$$

バルビエの考え方を使うと、積分なしで同じ答えが出る。交わる回数の平均は針の長さに比例する(針を短い部分に分ければ、それぞれの平均を足すだけだから)。曲がった針でも同じである。そこで、直径 $d$ の円の形の針を考える。これはどう落としても、ちょうど 2 回、線と交わる。円周は $\pi d$ だから、長さ $L$ あたりの平均の交わりは $2L/(\pi d)$ になる。$L=l\le d$ のまっすぐな針は、交わっても 1 回なので、平均の回数がそのまま確率になる。針が間隔より長い($l>d$)と、交わる回数の平均は $2l/(\pi d)$ のままだが、1 本の針が 2 本以上の線と交わることがあるので、交わる確率はそれより小さくなる。シミュレーションで $l/d$ を 1 までにしているのはこのためである。