三角形の成立条件

△ABCで$BC=a$、$CA=b$、$AB=c$とおき、まず『原論』の証明で$b+c>a$を出す。使うのは、二等辺三角形の底角が等しいことと、三角形では大きい角の向かいの辺が長いことの2つだ。

1. 辺BAをAの先へ延ばし、$AD=AC$となる点Dをとる

   $$BD=BA+AD=c+b$$

2. △ACDは二等辺三角形なので底角が等しい

   $$\angle ADC=\angle ACD$$

3. ∠BCDは∠ACDを内側に含むので大きい

   $$\angle BCD>\angle ACD=\angle BDC$$

4. △BCDで大きい角の向かいの辺は長い

   $$BD>BC$$

5. 手順1の$BD$と$BC=a$を代入する

   $$b+c>a$$

6. 辺の名前を入れ替えて同じ証明をくり返す

   $$c+a>b,a+b>c$$

三角形があれば、この3本はどれも成り立つ。では、3本とも調べる必要はあるのだろうか。残り2本を$a$の側へ寄せると、1本にまとまる。

7. 手順6の2本を$a$について解く

   $$a>b-c,a>c-b$$

8. 右辺の大きいほうが$|b-c|$なので1本にする

   $$a>|b-c|$$

9. 手順5とつなげる

   $$|b-c|<a<b+c$$

手順7と8はどちらも逆にたどれるので、この1本は手順5と6の3本の言い換えにすぎない。どの辺を$a$に選んでも、同じ形に書ける。さらに$a$を最大の辺に選ぶと、左側の不等号まで調べなくてよくなる。

10. $a$を最大の辺とする

    $$a\ge b,a\ge c$$

11. $c>0$なので$b-c$は$a$より小さい

    $$b-c<b\le a$$

12. $b>0$なので$c-b$も$a$より小さい

    $$c-b<c\le a$$

13. 2本を絶対値で1本にする

    $$|b-c|<a$$

14. 左側はいつも成り立ち、右側だけが残る

    $$|b-c|<a<b+c⟺a<b+c$$

この見方は古い。プロクロスの注釈が伝えるヘロンとポルピュリオスの別証明には、辺を長さの順に並べ、最大の辺を含む2本の不等式は明らかだとして、残る1本だけを示すものがある。

逆に、不等式を満たす3つの数があれば、三角形は本当にできるのか。エウクレイデスは命題22で、2つの円が交わる点を頂点にとって三角形を作図した。ただ、円が交わる理由は述べていない。余弦定理を使うと、この穴が埋まる。長さ$b$, $c$の2辺を頂点Aでつなぎ、はさむ角$A$を動かしてみよう。

15. 余弦定理で向かいの辺を表す

    $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

16. $A=0^{\circ }$のとき$\cos A=1$である

    $$a^2=b^2+c^2-2bc=(b-c{)}^2$$

17. $A=180^{\circ }$のとき$\cos A=-1$である

    $$a^2=b^2+c^2+2bc=(b+c{)}^2$$

18. 三角形では$0^{\circ }<A<180^{\circ }$なので余弦の範囲が決まる

    $$-1<\cos A<1$$

19. $-2bc$を掛けると大小が逆になるので並べ直す

    $$-2bc<-2bc\cos A<2bc$$

20. 各辺に$b^2+c^2$を足し、手順15を使う

    $$b^2+c^2-2bc<a^2<b^2+c^2+2bc$$

21. 両端を平方の形にする

    $$(b-c{)}^2<a^2<(b+c{)}^2$$

22. $a>0$なので平方根をとる

    $$|b-c|<a<b+c$$

手順18から22は下から上へもたどれる。この不等式を満たす正の数があれば、$\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$は$-1$と$1$のあいだに入り、それを余弦とする角$A$が$0^{\circ }<A<180^{\circ }$にただ1つ決まる。この角をはさんで長さ$b$, $c$の2辺をとると、残る辺は手順15から$a$だ。

だから三角形は確かにでき、3辺が同じなら合同なので、形も1通り。辺BCを底に置けば、この頂点Aが命題22で2つの円の交わる点にあたる。

不等号の端では、三角形がつぶれる。$a=b+c$は手順17の場合でAが辺BCの上に乗り、$a=|b-c|$は手順16の場合で短いほうの辺が長いほうに重なる。どちらも面積$\frac{1}{2}bc\sin A$が0だから、成立条件に等号は入らない。