e = 1 + \frac{q v _{\infty}^{2}}{G M _{⊙}} > 1

恒星間天体の双曲線軌道

Hyperbolic orbit of an interstellar object

3 日のうちに、離心率は 0.449 から 1.19 へ変わった。

近日点距離 q と、太陽から遠く離れたときの速さ v∞ で離心率が決まる。1 を超えれば双曲線で、天体は二度と戻らない。

年代: 2017年
習う: 大1・力学・中心力と惑星の運動
レベル: 大学(例題 5 問)
人物: ロバート・ウェリク、カレン・ミーチ、ゲナディ・ボリソフ、アイザック・ニュートン

天文学物理学数学工学

逸話

3 日で 1 を超えた離心率

最初に計算された軌道の離心率は、0.449 だった。長半径は 0.74 au で、太陽のまわりを 1 年たらずで回る。地球の軌道の近くを回る、アテン型と呼ばれる小惑星の軌道である。

2017 年 10 月 19 日、ハワイのマウイ島にあるパンスターズ 1(Pan-STARRS1)望遠鏡が、1 日に 6.2 度という速さで西へ動く天体を写した。地球に近づく小惑星を探す、ふだんどおりの観測の画像だった。この動く点に最初に気づいて小惑星センター(MPC)へ報告したのは、ハワイ大学天文学研究所の博士研究員ロバート・ウェリクである。前の夜の画像にも、同じ天体が写っていた。

暗い部屋で、星空の写真を映した 2 台の画面に向かう人を、後ろから描く(画像生成 AI で描いたイメージ) — 2017 年 10 月 19 日、パンスターズ 1 の画像に速く動く天体を見つけたウェリク画像生成 AI で描いたイメージ

新しい天体は、小惑星センターの確認待ちの一覧に載り、ほかの観測者が位置を測り足していく。翌 20 日、カタリナ・スカイサーベイの観測が加わると、軌道は長半径 50 au、離心率 0.997 に描き直された。1 周におよそ 350 年かかる、細長い彗星のような楕円である。22 日、カナダ・フランス・ハワイ望遠鏡(CFHT)で測った位置を入れると、離心率は 1.188 になった。1 を超えた軌道は、閉じない。

10 月 25 日、小惑星センターは電子回報 MPEC 2017-U181 で、この天体を彗星 C/2017 U1 として公表した。観測の期間が短いと断りながらも、強い双曲線の軌道しか観測に合わず、確かめられれば太陽系の外から来た彗星のはっきりした最初の例になる、という見立てを添えている。ところが、ヨーロッパ南天天文台の超大型望遠鏡(VLT)で撮った深い画像にも、彗星らしいぼやけた姿は写らなかった。名前の頭は、同じ日のうちに小惑星を表す A/ に改められた(MPEC 2017-U183)。

観測が 118 回まで集まると、太陽系の重心から見た離心率は 1.1933 ± 0.0007 に絞られた。1 との差は、誤差の約 300 倍ある(ミーチほか、2017 年)。

パンスターズ 1 望遠鏡(ハレアカラ山頂の Pan-STARRS の観測所) — パンスターズ 1 望遠鏡2010年(掃天観測の開始)口径 1.8 m・視野 3 度で、地球に近づく小天体を探す望遠鏡出典: Wikimedia Commons・Forest & Kim Starr・CC BY 3.0 US(観測所の部分を切り抜き)

11 月 6 日、小惑星センターは恒星間天体のための番号「I」を新しく設け、この天体を 1I、名前をオウムアムア('Oumuamua)とした(MPEC 2017-V17)。ハワイ大学によると、名前はハワイ大学ヒロ校のハワイ語の専門家と相談して選んだ。遠い過去から送られてきて、こちらへ手を伸ばす斥候や使者のような天体、という意味を込めている。'ou は「手を伸ばす」、mua は「最初の・先に」という語で、mua を 2 つ重ねて意味を強めた。

起源

命題 12 の双曲線と、1 をわずかに超える彗星

離心率が 1 を超える軌道そのものは、330 年前から知られていた。1687 年に出たニュートンの『プリンキピア』(自然哲学の数学的諸原理)の第 1 編第 3 章は、「離心的な円錐曲線の上の物体の運動」を扱う。命題 11 は楕円、命題 12 は双曲線、命題 13 は放物線を描く物体について、焦点へ向かう力が距離の 2 乗に反比例することを導いた。

アイザック・ニュートンの肖像(Portrait of Isaac Newton (1642-1727)) — アイザック・ニュートン1643–1727運動の法則と万有引力を一つの体系にまとめた出典: Wikimedia Commons・Godfrey Kneller・Public domain

命題 13 の系 1 で、ニュートンは逆も成り立つと述べた。距離の 2 乗に反比例する力で引かれる物体は、どこから、どんな速さで、どの向きに出発しても、力の中心を焦点とする円錐曲線のどれかを描く。ニュートンは初版ではこの系に理由を付けず、のちの版で次の理由を書き足した。焦点と出発点と、そこでの接線の向きが決まれば、その点で決まった曲がり方をする円錐曲線が 1 つ描ける。その曲がり方は、力の大きさと速さで決まる。同じ点を同じ向きに通っても、速さが違えば、楕円にも放物線にも双曲線にもなる。地球のまわりでのこの違いは、万有引力の法則の記事で、ニュートンの大砲を撃って確かめられる。

太陽系の彗星にも、離心率が 1 をわずかに超えるものはある。1980 年に見つかったボーウェル彗星(C/1980 E1)は、木星に近づいたときに軌道が変わり、離心率がおよそ 1.06 の双曲線になった(ミーチほか、2017 年)。JPL の小天体データベースの軌道要素(離心率 1.058、近日点距離 3.36 au)を式に入れると、太陽から遠く離れたときの速さは秒速 4 km ほどにしかならない。惑星の引力で足せる速さには限りがある。太陽系の外から来たと言うには、離心率が 1 を超えるだけでは足りず、どれだけ大きく超えているかが問われる。

オウムアムアは、太陽系に入る前に秒速約 26 km で動いていた。ミーチらによると、この動きは太陽の近くの恒星の平均的な動きと、そのばらつきの範囲に収まる。銀河を何周もしてきた天体で、生まれた恒星系はいまでは銀河の反対側にある可能性もあるという。

2 例目は 2019 年に来た。8 月 30 日、クリミアの観測所 MARGO のアマチュア天文家ゲナディ・ボリソフが、自分で作った口径 0.65 m の望遠鏡で、彗星のような天体を見つけた。世界のアマチュアと研究者が 1 週間ほど観測を重ねると、小惑星センターの計算から、太陽系の外から来たらしいと分かった。9 月 24 日、国際天文学連合(IAU)は、彗星に発見者の名前を付ける伝統に従い、この天体を 2I/ボリソフと名づけた。IAU によると、これまでに見つかった何千もの彗星に、これほど強い双曲線の軌道を通るものは無い。

小さな観測所のドームの中で、大きな手作りの望遠鏡のそばに立つ人の後ろ姿。開いたスリットから星空が見える(画像生成 AI で描いたイメージ) — 2019 年 8 月 30 日、クリミアの観測所 MARGO で、自作の望遠鏡を使って新しい彗星を見つけたボリソフ画像生成 AI で描いたイメージ

3 例目は 2025 年 7 月 1 日に見つかった。チリのリオ・ウルタードにある ATLAS の望遠鏡が、30 秒露出の画像 4 枚に写した天体である。小惑星センターは翌 2 日、電子回報 MPEC 2025-N12 で、この天体を 3I/ATLAS(C/2025 N1)とし、離心率がおよそ 6 の双曲線の軌道を示した。

乾いた丘の上で、小さな白いドームがスリットを開け、天の川の下で夜空に向いている(画像生成 AI で描いたイメージ) — 2025 年 7 月 1 日、チリのリオ・ウルタードにある ATLAS の望遠鏡が、3 例目の恒星間天体をとらえた画像生成 AI で描いたイメージ

証明

離心率ベクトルで軌道の形を決める

太陽の質量を $M_{⊙}$ 、 $μ = G M_{⊙}$ とし、太陽は動かないとする。天体の位置ベクトルを $r$ (大きさ $r$ )、速度を $v$ とすると、運動方程式は $v ˙ = - μ r / r^{3}$ である。以下、1 kg あたりの量で考える。

力はいつも太陽を向くので、角運動量 $h = r \times v$ は変わらない。天体は 1 つの平面の上を動く。
$\frac{d h}{d t} = v \times v + r \times (- \frac{μ}{r ^{3}} r) = 0$
$v \times h$ を時間で微分し、ベクトル三重積の公式 $r \times (r \times v) = (r \cdot v) r - r^{2} v$ を使う。
$\frac{d}{d t} (v \times h) = - \frac{μ}{r ^{3}} r \times (r \times v) = μ (\frac{v}{r} - \frac{( r \cdot v ) r}{r ^{3}})$
右辺のかっこの中は、太陽から天体へ向かう単位ベクトル $r / r$ の時間微分である( $r \cdot v = r r ˙$ を使う)。したがって、次のベクトル $e$ は時間によらない。これを離心率ベクトルと呼ぶ。
$e = \frac{v \times h}{μ} - \frac{r}{r}$
$e$ と $r$ の内積をとる。 $r \cdot (v \times h) = (r \times v) \cdot h = h^{2}$ なので、 $e$ と $r$ のなす角を $θ$ として
$r e cos θ = \frac{h ^{2}}{μ} - r$
$r$ について解くと、太陽を焦点とする円錐曲線の極方程式になる。 $ℓ$ は半直弦、 $e = ∣ e ∣$ が離心率で、 $e < 1$ なら楕円、 $e = 1$ なら放物線、 $e > 1$ なら双曲線である。
$r = \frac{ℓ}{1 + e cos θ}, ℓ = \frac{h ^{2}}{μ}$
次に $e$ の大きさの 2 乗を計算する。 $v$ と $h$ は垂直なので $∣ v \times h ∣ = v h$ で、手順 4 の内積も使うと
$e^{2} = \frac{v ^{2} h ^{2}}{μ ^{2}} - \frac{2 h ^{2}}{μ r} + 1 = 1 + \frac{2 h ^{2}}{μ ^{2}} (\frac{v ^{2}}{2} - \frac{μ}{r})$
かっこの中は 1 kg あたりの力学的エネルギー $E$ で、これも時間によらない。太陽から限りなく遠ざかったときの速さ(双曲線超過速度)を $v_{\infty}$ とすると $E = v_{\infty}^{2} /2$ なので
$e^{2} = 1 + \frac{h ^{2} v _{\infty}^{2}}{μ ^{2}}$
近日点( $θ = 0$ , $r = q$ )を手順 5 に入れると $h^{2} = μ q (1 + e)$ 。これを手順 7 に代入し、左辺の $e^{2} - 1$ を因数分解する。
$(e - 1) (e + 1) = \frac{q v _{\infty}^{2}}{μ} (e + 1)$
両辺を正の数 $e + 1$ で割る。
$e = 1 + \frac{q v _{\infty}^{2}}{G M _{⊙}}$

右辺の第 2 項は正なので、太陽から限りなく遠くまで行ける天体( $v_{\infty} > 0$ )の離心率は、必ず 1 を超える。楕円の天体ではエネルギー $E$ が負で、 $v_{\infty}^{2}$ の代わりに $2 E$ を入れると、同じ式が $e < 1$ を与える。放物線は $E = 0$ のちょうど境目である。手順 3 のベクトルは近日点の向きを指し、定数倍するとラプラス・ルンゲ・レンツのベクトルになる。手順 5 の $ℓ = h^{2} / μ$ は、ケプラーの第三法則の記事の証明で使った半直弦と同じものである。

途中の計算

近日点で 2 つの保存則を並べる

高校の物理ではケプラーの法則と万有引力による位置エネルギーを、数学C では二次曲線と極方程式を学ぶ(高等学校学習指導要領解説)。面積速度一定と力学的エネルギー保存に、極方程式と証明の手順 5 の $ℓ = h^{2} / μ$ を組み合わせれば、同じ式に届く。 $v_{q}$ は近日点での速さである。

近日点で速度は動径と垂直なので
$h = q v_{q}$
近日点と無限遠でエネルギーを等しくおく
$\frac{1}{2} v_{q}^{2} - \frac{μ}{q} = \frac{1}{2} v_{\infty}^{2}$
$v_{q}^{2}$ について解く
$v_{q}^{2} = v_{\infty}^{2} + \frac{2 μ}{q}$
極方程式に $θ = 0$ , $r = q$ を入れる
$q = \frac{ℓ}{1 + e}$
$ℓ = h^{2} / μ$ を代入する
$q = \frac{h ^{2}}{μ ( 1 + e )}$
$1 + e$ について解く
$1 + e = \frac{h ^{2}}{μ q}$
手順 1 の $h = q v_{q}$ を代入する
$1 + e = \frac{q v _{q}^{2}}{μ}$
手順 3 の $v_{q}^{2}$ を代入する
$1 + e = \frac{q v _{\infty}^{2}}{μ} + 2$
両辺から 1 を引く
$e = 1 + \frac{q v _{\infty}^{2}}{μ}$

手順 7 の形も役に立つ。半径 $q$ の円軌道を回る速さを $v_{c} = μ / q$ とすると、 $e = (v_{q} / v_{c})^{2} - 1$ になる。近日点の速さが $v_{c}$ なら $e = 0$ で円、 $2 v_{c}$ (その距離での脱出速度)なら $e = 1$ で放物線、それより速ければ双曲線である。オウムアムアの近日点距離 0.256 au では、円軌道の速さが秒速 58.9 km、脱出速度が秒速 83.3 km になる。軌道要素から計算すると、実際には秒速 87.3 km で近日点を通り過ぎていて、 $(87.3/58.9)^{2} - 1 \approx 1.20$ は離心率と合う。

応用

3 つの来訪者を式で比べる

NASA ジェット推進研究所(JPL)の小天体データベースから、3 つの恒星間天体の近日点距離 $q$ と離心率 $e$ を取り、式を逆に解いた $v_{\infty} = G M_{⊙} (e - 1) / q$ で、太陽系に入る前の速さを計算した。3I/ATLAS は、2026 年 10 月 21 日の軌道解の値である(2026 年 10 月 25 日に確認)。進む向きが変わる角(偏向角) $δ$ は、例題 3 で導く $sin (δ /2) = 1/ e$ で求めた。

天体	近日点を通った日	$q$	$e$	$v_{\infty}$	$δ$
1I/オウムアムア	2017 年 9 月 9 日	0.256 au	1.20	26 km/s	113°
2I/ボリソフ	2019 年 12 月 8 日	2.01 au	3.36	32 km/s	35°
3I/ATLAS	2025 年 10 月 29 日	1.35 au	6.12	58 km/s	19°

曲がり方は、近さと速さで決まる。 オウムアムアは水星の軌道の内側まで入り込み、向きを 113° 変えた。3I/ATLAS の近日点は火星の軌道より少し内側で、しかも秒速 58 km と速いので、19° しか曲がらずに通り抜けた。離心率が大きいほど、双曲線は直線に近づく。

数字を入れて確かめる。 オウムアムアでは $q = 0.256$ au $= 3.83 \times 1 0^{10}$ m、 $e = 1.201$ 、 $G M_{⊙} = 1.327 \times 1 0^{20}$ m³/s² なので

v_{\infty} = \frac{1.327 \times 1 0 ^{20} \times 0.201}{3.83 \times 1 0 ^{10}} \approx 2.64 \times 1 0^{4} m/s

秒速 26.4 km で、1 年に約 5.6 au 進む速さである。ミーチらは、太陽系の重心から見た軌道で秒速 26.15 km と求めている。

太陽系の外から来た印。 3 つの天体の $v_{\infty}$ は、木星にはじかれたボーウェル彗星の秒速 4 km ほどの 6〜15 倍ある。惑星に近づいただけでは得られない速さである。

式に入っていない力。 この式は、太陽の引力だけで動くとして導いた。実際のオウムアムアは、引力だけで計算した軌道よりわずかに速く太陽から遠ざかっていた。2018 年 6 月、ミケーリらは『ネイチャー』で、太陽に温められた表面から物質が噴き出し、その反動で押されたと考えるのが最も有力だと発表した。JPL の軌道要素も、この重力以外の加速を入れて計算してある。

いつも 1 つはいる。 ミーチらは、直径 250 m ほどの恒星間天体が、地球の軌道の内側にいつも 1 個くらいはいると見積もった。オウムアムアを見つけられたのは、パンスターズ 1 の検出の処理を改良したおかげである可能性が高いとし、観測装置と処理がよくなれば見つかる数は増えると予想した。その後、2 年後と 8 年後に 2 例目と 3 例目が見つかった。次の 1 つが見つかったら、発表された $q$ と $e$ を式に入れて、 $v_{\infty}$ と偏向角を自分で出してみるとよい。

例題と解説

離心率と偏向角を求める

例題 1基本近日点距離と遠くでの速さから離心率を出す

太陽の引力だけを受けて動く恒星間天体がある。近日点距離は 1.0 au、太陽から十分に遠く離れたときの速さは 30 km/s である。万有引力定数と太陽の質量の積を $G M_{⊙} = 1.33 \times 1 0^{20}$ m³/s²、1 au $= 1.50 \times 1 0^{11}$ m とする。

(1) 軌道の離心率 $e$ を有効数字 2 けたで求めよ。

(2) 近日点での速さを有効数字 2 けたで求めよ。

解説を見る

(1) 単位を m と m/s にそろえて、式の第 2 項を計算する。

\frac{q v _{\infty}^{2}}{G M _{⊙}} = \frac{1.50 \times 1 0 ^{11} \times ( 3.0 \times 1 0 ^{4} ) ^{2}}{1.33 \times 1 0 ^{20}} \approx 1.02

$e = 1 + 1.02 \approx 2.0$ で、軌道は双曲線である。

(2) 力学的エネルギー保存から $v_{q}^{2} = v_{\infty}^{2} + 2 G M_{⊙} / q$ である。

v_{q}^{2} = (3.0 \times 1 0^{4})^{2} + \frac{2 \times 1.33 \times 1 0 ^{20}}{1.50 \times 1 0 ^{11}} \approx 2.67 \times 1 0^{9} m^{2} / s^{2}

$v_{q} \approx 5.2 \times 1 0^{4}$ m/s、秒速約 52 km である。1 au での脱出速度 $2 G M_{⊙} / q \approx 42$ km/s より速い。

例題 2基本また戻ってくるか

太陽から 4.0 au 離れた点を、25 km/s の速さで動いている天体がある。速度の向きは問わず、太陽の引力だけを受け、太陽にはぶつからないとする。この天体は太陽の近くへ戻ってくるか。戻ってこないなら、太陽から十分に遠く離れたときの速さを有効数字 2 けたで求めよ。定数は例題 1 と同じとする。

解説を見る

1 kg あたりの力学的エネルギー $E = \frac{v ^{2}}{2} - \frac{G M _{⊙}}{r}$ の符号で決まる。 $E \geq 0$ になる速さの境目は、その点での脱出速度である。

\frac{2 G M _{⊙}}{r} = \frac{2 \times 1.33 \times 1 0 ^{20}}{4.0 \times 1.50 \times 1 0 ^{11}} \approx 2.1 \times 1 0^{4} m/s

25 km/s はこれより速いので $E > 0$ で、天体は戻ってこない。速度の向きによらず、エネルギーだけで決まる。遠くでの速さはエネルギー保存から

v_{\infty} = v^{2} - \frac{2 G M _{⊙}}{r} = (2.5 \times 1 0^{4})^{2} - (2.11 \times 1 0^{4})^{2} \approx 1.3 \times 1 0^{4} m/s

で、秒速約 13 km である。

例題 3入試進む向きは何度変わるか

太陽を原点とする極座標で、天体の軌道が $r = \frac{ℓ}{1 + e cos θ}$ ( $ℓ > 0$ , $e = 2$ )で表されている。

(1) $0 < θ < π$ の範囲で、 $r$ が限りなく大きくなる $θ$ を求めよ。

(2) 天体が遠くから近づき、太陽のそばを通って遠くへ去るまでに、進む向きは何度変わるか。

(3) 近日点距離を $q$ 、太陽から十分に遠くでの速さを $v_{\infty}$ とするとき、 $\frac{q v _{\infty}^{2}}{G M _{⊙}}$ の値を求めよ。

解説を見る

(1) 分母が 0 に近づくとき、 $r$ は限りなく大きくなる。

1 + 2 cos θ = 0 ⟹ cos θ = - \frac{1}{2}

$θ = 13 5^{\circ}$ である。

(2) 天体は遠くでは $θ = - 13 5^{\circ}$ の方向から漸近線に沿って近づき、 $θ = 13 5^{\circ}$ の方向へ漸近線に沿って去る。近づくときの速度は、 $- 13 5^{\circ}$ の向きと逆向きなので、 $x$ 軸から測って $4 5^{\circ}$ の向きである。去るときの速度は $13 5^{\circ}$ の向きで、進む向きは $13 5^{\circ} - 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}$ 変わる。一般に $cos θ_{\infty} = - 1/ e$ で、偏向角 $δ = 2 θ_{\infty} - 18 0^{\circ}$ は $sin (δ /2) = - cos θ_{\infty} = 1/ e$ を満たす。

(3) $e = 1 + \frac{q v _{\infty}^{2}}{G M _{⊙}}$ なので、 $\frac{q v _{\infty}^{2}}{G M _{⊙}} = 2 - 1 \approx 0.41$ である。

例題 4難関太陽に当たる範囲

太陽から十分に遠くで速さ $v_{\infty}$ の天体が、太陽の中心を通る直線から距離 $b$ だけ離れた平行な直線に沿って近づいてくる。太陽の半径を $R$ 、 $G M_{⊙}$ を $μ$ とし、太陽の引力だけを考える。

(1) 天体がちょうど太陽の表面をかすめるときの $b$ を、 $R$ , $μ$ , $v_{\infty}$ で表せ。

(2) $R = 7.0 \times 1 0^{8}$ m、 $μ = 1.33 \times 1 0^{20}$ m³/s²、 $v_{\infty} = 20$ km/s のとき、(1) の $b$ は $R$ の何倍か。有効数字 2 けたで答えよ。

解説を見る

(1) 太陽のまわりの角運動量は保存する。遠くでは、太陽から運動の向きの直線までの距離(腕の長さ)が $b$ なので、1 kg あたり $h = b v_{\infty}$ である。表面をかすめる点は近日点で、速度は動径と垂直なので $h = R v_{R}$ になる。

b v_{\infty} = R v_{R}

エネルギー保存の式は

\frac{1}{2} v_{R}^{2} - \frac{μ}{R} = \frac{1}{2} v_{\infty}^{2}

$v_{R}$ を消去すると

b^{2} v_{\infty}^{2} = R^{2} (v_{\infty}^{2} + \frac{2 μ}{R}) ⟹ b = R 1 + \frac{2 μ}{R v _{\infty}^{2}}

$b$ がこれより小さいと近日点は太陽の内側になり、天体は太陽にぶつかる。

(2) 根号の中の第 2 項を計算する。

\frac{2 μ}{R v _{\infty}^{2}} = \frac{2 \times 1.33 \times 1 0 ^{20}}{7.0 \times 1 0 ^{8} \times ( 2.0 \times 1 0 ^{4} ) ^{2}} = 950

$b = R 951 \approx 31 R$ である。引力が無ければ当たるのは $b < R$ の範囲だけだが、引力があると、天体が太陽に当たる範囲の面積は太陽の断面積の約 950 倍に広がる。

例題 5大学衝突パラメータと偏向角

例題 4 の $b$ (衝突パラメータ)と $v_{\infty}$ を使うと、双曲線軌道で進む向きが変わる角 $δ$ は

tan \frac{δ}{2} = \frac{μ}{b v _{\infty}^{2}}

を満たす。これを示せ。証明の章の手順 7 の $e^{2} = 1 + h^{2} v_{\infty}^{2} / μ^{2}$ と、例題 3 の $sin (δ /2) = 1/ e$ を使ってよい。

解説を見る

遠くでは $h = b v_{\infty}$ なので、手順 7 の式は次のようになる。

e^{2} - 1 = \frac{b ^{2} v _{\infty}^{4}}{μ ^{2}}

$sin (δ /2) = 1/ e$ から $cos (δ /2) = 1 - 1/ e^{2} = e^{2} - 1 / e$ なので

tan \frac{δ}{2} = \frac{1}{e ^{2} - 1} = \frac{μ}{b v _{\infty}^{2}}

オウムアムアでは $b = q (e + 1) / (e - 1) \approx 0.847$ au $\approx 1.27 \times 1 0^{11}$ m、 $v_{\infty} \approx 2.64 \times 1 0^{4}$ m/s なので $tan (δ /2) \approx 1.50$ で、 $δ \approx 11 3^{\circ}$ となり、3 つの来訪者を比べた表と合う。

入試・大会での出題

脱出の速さとスイングバイの問題

2018 年物理チャレンジ第 2 チャレンジ理論問題第 2 問問 4・問 9: スペースデブリを取り除く方法を考える大問。楕円軌道の長径と焦点間の距離を、全エネルギーと面積速度で表す(問 4)。円軌道を回るデブリに進む向きの力積を与えて全エネルギーを 0 にし、地球の重力圏の外へ出すとき、力積を受けた直後の速さが元の速さの何倍かを求める(問 9)。(出典: 物理オリンピック日本委員会「物理チャレンジ 2018 第 2 チャレンジ理論問題」)
2023 年物理チャレンジ第 2 チャレンジ理論問題第 1 問問 1〜問 4: 「力学とくりこみ群」の大問の前半。地球の中心から距離 $R$ の点で水平に打ち出した粒子について、面積速度一定とエネルギー保存の式を書き、第 1 宇宙速度と第 2 宇宙速度を求める。さらに、最も遠ざかる距離が、初速が第 2 宇宙速度に近づくにつれてどのように大きくなるかを調べる。(出典: 物理オリンピック日本委員会「物理チャレンジ 2023 第 2 チャレンジ理論問題」)
2025 年大学入学共通テスト追試験物理第 2 問問 4・問 5: 惑星のそばを通る探査機。惑星から見た探査機について、力学的エネルギー保存から、惑星から同じ距離の点では速さが等しいことを導く(問 4)。太陽から見た速度に直し、惑星の引力で探査機が加速されることを速さの比で確かめる(問 5)。(出典: 大学入試センター「令和 7 年度追・再試験の問題」)

図示

同じ近日点を通る 3 つの軌道

太陽を焦点とし、同じ近日点を同じ向きに通る 3 つの軌道。近日点での速さが遅いと離心率 0.5 の楕円で閉じ、その距離での脱出速度ちょうどなら離心率 1 の放物線、それより速いと離心率 2 の双曲線になり、遠くでは点線の漸近線に沿ってまっすぐ進む。

3 つの軌道は、近日点での速さが円軌道の速さの $1.5$ 倍・ $2$ 倍・ $3$ 倍のときにあたる。 $e = (v_{q} / v_{c})^{2} - 1$ のとおり、速さの 2 乗が離心率を決める。

離心率 1.5 の双曲線軌道。遠くでは速さ v∞ で漸近線に沿って進み、太陽の近くで向きを δ だけ変える。δ は sin(δ/2) = 1/e を満たし、ここでは約 84° である。太陽から入ってくる漸近線までの距離 b(衝突パラメータ)と近日点距離 q の間には、b = q√((e+1)/(e−1)) の関係がある。

シミュレーション

速さを上げて軌道を開く

天体は、太陽から $r$ の点を、太陽の向きと直角に速さ $v$ で通る。 $v$ を上げていくと、閉じた楕円が細長くのび、その距離での脱出速度を超えたところで放物線を経て双曲線に開く。下の欄には、離心率 $e$ と戻ってくるかどうかが出る。双曲線なら、入れた $r$ と $v$ からエネルギー保存で求めた $v_{\infty}$ と、 $1 + q v_{\infty}^{2} / GM$ の値、偏向角も出る。 $1 + q v_{\infty}^{2} / GM$ は、いつも $e$ と同じ値になる。「天体」でハレー彗星と 3 つの恒星間天体を選ぶと、JPL の軌道要素から計算した値で軌道を描き、天体は太陽の近くですっと速く、遠くではゆっくり進む。

広がる学問

散乱・探査機・二次曲線へ

天文学 恒星間天体は、ほかの恒星系でできた物質を、太陽系の中で間近に調べられる試料である。2I/ボリソフのスペクトルは、典型的な彗星の核のスペクトルに似ていた(IAU の 2019 年の発表)。軌道の離心率と $v_{\infty}$ は、太陽系の天体かどうかを見分ける最初の物差しになる。
物理学 1911 年、ラザフォードは、原子核の電気の反発で曲げられるアルファ粒子の軌道を双曲線として扱い、散乱の式を導いた。斥力でも距離の 2 乗に反比例する力なら軌道は円錐曲線になり、例題 5 の $μ$ を、クーロン力の比例定数と 2 つの電荷の積を粒子の質量で割った量に置き換えると、同じ形の $tan (δ /2)$ の式が出る。
工学惑星のそばを通る探査機は、惑星から見ると双曲線の軌道を通り、入るときと出るときで、惑星から見た速さは変わらない。太陽から見ると惑星の速度が足し引きされるので、燃料を使わずに加速や減速ができる。この方法はスイングバイと呼ばれ、惑星探査の軌道設計で広く使われている。
数学焦点までの距離と準線までの距離の比で、楕円・放物線・双曲線を 1 つの族として扱う見方は、高校の数学C の二次曲線にもつながる。極方程式 $r = ℓ / (1 + e cos θ)$ では、 $e$ を連続に動かすだけで曲線が移り変わる。

参考文献

K. J. Meech, R. Weryk, M. Micheli ほか, "A brief visit from a red and extremely elongated interstellar asteroid", Nature 552 (2017), 378-381.
Minor Planet Center, MPEC 2017-U181・MPEC 2017-U183(2017 年 10 月 25 日)・MPEC 2017-V17(2017 年 11 月 6 日)
M. Micheli ほか, "Non-gravitational acceleration in the trajectory of 1I/2017 U1 ('Oumuamua)", Nature 559 (2018), 223-226.
International Astronomical Union, "Naming of New Interstellar Visitor: 2I/Borisov"(iau1910, 2019 年 9 月 24 日)・Minor Planet Center, MPEC 2019-R106(2019 年 9 月 11 日)・MPEC 2025-N12(2025 年 7 月 2 日)
NASA/JPL Small-Body Database(1I・2I・3I・C/1980 E1・1P の軌道要素。2026 年 10 月 25 日に確認)
I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, London, 1687, Book I, Section 3, Prop. 11-13 と命題 13 の系 1・系 2(系 1 にのちの版で書き足された理由は A. Motte の英訳で確認).(中野猿人訳・注『プリンシピア自然哲学の数学的原理』講談社ブルーバックス)
文部科学省『高等学校学習指導要領(平成30年告示)解説理科編理数編』(物理「様々な運動」)・『数学編理数編』(数学C「平面上の曲線と複素数平面」)

恒星間天体の双曲線軌道

3 日で 1 を超えた離心率

命題 12 の双曲線と、1 をわずかに超える彗星

離心率ベクトルで軌道の形を決める

近日点で 2 つの保存則を並べる

3 つの来訪者を式で比べる

離心率と偏向角を求める

例題 1基本近日点距離と遠くでの速さから離心率を出す

例題 2基本また戻ってくるか

例題 3入試進む向きは何度変わるか

例題 4難関太陽に当たる範囲

例題 5大学衝突パラメータと偏向角

脱出の速さとスイングバイの問題

同じ近日点を通る 3 つの軌道

速さを上げて軌道を開く

散乱・探査機・二次曲線へ

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