ツィオルコフスキーの公式

ロケットは、後ろへ物を投げ出すことで前へ進む。外から力が働かないとして、運動量の保存から式を導く。

1. 時刻 $t$ でロケットの質量は $m$、速さは $v$。短い時間 $dt$ の間に、質量 $-dm$($dm<0$)の燃焼ガスを、ロケットから見て後ろ向きに速さ $v_e$ で出す。投げ出す前の運動量は

   $$p_{\text{前}}=mv$$

2. 投げ出した後は、ロケットが質量 $m+dm$・速さ $v+dv$、ガスが質量 $-dm$・速さ $v-v_e$ になる。

   $$p_{\text{後}}=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v-v_e)$$

3. 外から力が働かないので、運動量は保存する。

   $$mv=(m+dm)(v+dv)-dm(v-v_e)$$

4. 展開すると $mv$ と $vdm$ が消える。とても小さい $dmdv$ を無視する。

   $$0=mdv+v_{e}dm$$

5. 速さの変化を質量の変化で書く。

   $$dv=-v_e\frac{dm}{m}$$

6. 燃料を積んだ質量 $m_0$ から燃え尽きた質量 $m_f$ まで積分する。$1/m$ の積分は自然対数になる。

   $$\Delta v=-v_e{\int }_{m_0}^{m_f}\frac{dm}{m}=v_e\ln \frac{m_0}{m_f}$$

7. 地上から真上へ打ち上げるときは、燃焼時間 $t_b$ の間ずっと重力 $g$ に引かれるので、その分だけ減る(重力損失)。

   $$\Delta v=v_e\ln \frac{m_0}{m_f}-g{t}_b$$

8. 何段かに分けたロケットでは、空になった段を捨てるたびに $m_0$ が軽くなり、各段の式を足し合わせる。

   $$\Delta v=\sum _i{v}_{e,i}\ln \frac{m_{0,i}}{m_{f,i}}$$

式に推力の大きさや燃える速さは出てこない。出てくるのは噴射の速さと質量の比だけである。対数のため、必要な速さを 2 倍にすると、質量の比は 2 乗になる。たとえば $\Delta v=v_e$ に要る比は $e\approx 2.72$ だが、$\Delta v=2v_e$ には $e^2\approx 7.39$、$3v_e$ には $e^3\approx 20.1$ が要る。

この式は運動量の保存だけから出る。運動方程式を質量の変わる物体に正しく当てはめた形でもある。実際のロケットの飛行は、重力と空気の抵抗の分を足せば、この式で計画どおりに飛ぶことが確かめられてきた。