ハミルトンの正準方程式

1つの座標$q$で位置が決まる系を考える。ラグランジアンは、ラグランジュの運動方程式と同じく$L=T-V$とする。

1. 運動量を$L$の速度での偏微分で決める

   $$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$$

2. 速度のかわりに運動量を変数にする関数を作る

   $$H(q,p,t)=p\dot{q}-L(q,\dot{q},t)$$

$L=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2-V(q)$なら、手順1は$p=m\dot{q}$で、ふつうの運動量になる。手順2の取り替え方をルジャンドル変換という。

3. $H$の全微分をとる

   $$\begin{array}{rl}dH& =\dot{q}dp+pd\dot{q}\\ & -\frac{\partial L}{\partial q}dq-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial t}dt\end{array}$$

4. 手順1から$d\dot{q}$の2項が打ち消し合う

   $$dH=\dot{q}dp-\frac{\partial L}{\partial q}dq-\frac{\partial L}{\partial t}dt$$

5. $dH$の係数を読み取る

   $$\frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q},\frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial q},\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}$$

6. ラグランジュの運動方程式$\dot{p}=\partial L/\partial q$を入れる

   $$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$$

急所は手順4だ。$H$は$q$と$p$と$t$の関数のはずなのに、手順3では$d\dot{q}$が残って見える。ところが$p$を$\partial L/\partial \dot{q}$と決めておいたので、その2項がちょうど消え、$H$は本当に速度によらない関数になる。2本目にだけ付くマイナスは、どこから来たのか。手順2で$L$を引いた、その引き算にほかならない。座標がいくつあっても、$p_i{\dot{q}}_i$を足し合わせて同じ計算をすれば、座標ごとに2本ずつの式が出る。

ばね定数$k$のばねにつないだ質量$m$の物体で確かめよう。

7. ラグランジアンから運動量を出す

   $$L=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2-\frac{1}{2}k{q}^2,p=m\dot{q}$$

8. $\dot{q}=p/m$を手順2に入れる

   $$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{q}^2$$

9. 正準方程式に入れる

   $$\dot{q}=\frac{p}{m},\dot{p}=-kq$$

$H$は運動エネルギーと位置エネルギーの和になった。$p\dot{q}=m{\dot{q}}^2$は運動エネルギーの2倍なので、$H=2T-(T-V)=T+V$となるのだ。ハミルトンの$H=F-U$も、$U=-V$と読めば同じ値である。

横軸に$q$、縦軸に$p$をとった平面を相空間という。$H$の値$E$が変わらなければ、点$(q,p)$は$\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{q}^2=E$の楕円の上を動く。$p>0$なら$\dot{q}>0$で右へ、$q>0$なら$\dot{p}<0$で下へ進むので、回る向きは時計回りだ。

では、$H$はなぜ変わらないのか。

10. $H$を時間で微分する

    $$\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial H}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial H}{\partial t}$$

11. 正準方程式を入れる

    $$\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t}$$

最初の2項は、マイナスの符号のおかげで打ち消し合う。だから$H$が時間をあらわに含まなければ、$\frac{\partial H}{\partial t}=0$で$H$は保存される。ただし、保存される$H$がいつも$T+V$とは限らない。座標と直交座標の関係に時刻が入る系では、$p\dot{q}$が$2T$にならないからで、例題3の回る輪がその例になる。