ラグランジュの運動方程式

質量$m$の質点が$x$軸の上を動き、力は位置エネルギー$V(x)$から出るとする。位置を決める数を、$x$そのものから別の数$q$に替える。$x$と$q$がなめらかに1対1で対応するなら、関数$x(q)$の形は問わない。

1. 速度を$q$で書く

   $$\dot{x}=x^{\prime }(q)\dot{q}$$

2. 運動エネルギーを$q$で書く

   $$T=\frac{1}{2}m{x}^{\prime }(q{)}^2{\dot{q}}^2$$

3. $\dot{q}$で偏微分する

   $$\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}=m{x}^{\prime }(q{)}^2\dot{q}=m\dot{x}{x}^{\prime }(q)$$

4. 時間で微分する

   $$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}=m\ddot{x}{x}^{\prime }(q)+m\dot{x}{x}^{\prime \prime }(q)\dot{q}$$

5. 手順2を$q$で偏微分する

   $$\frac{\partial T}{\partial q}=m{x}^{\prime }(q)x^{\prime \prime }(q){\dot{q}}^2=m\dot{x}{x}^{\prime \prime }(q)\dot{q}$$

6. 手順4から手順5を引く

   $$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial T}{\partial q}=m\ddot{x}{x}^{\prime }(q)$$

7. ニュートンの式$m\ddot{x}=-\frac{dV}{dx}$を入れる

   $$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial T}{\partial q}=-\frac{dV}{dx}{x}^{\prime }(q)$$

8. 右辺を合成関数の微分でまとめる

   $$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial T}{\partial q}=-\frac{\partial V}{\partial q}$$

9. $V$は$\dot{q}$を含まないので$L$でまとめる

   $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$$

急所は手順6だ。座標を曲げると$x^{\prime \prime }(q)$の項が現れるが、手順4と手順5で同じ形になり、引き算でちょうど消える。残るのはニュートンの運動方程式の左辺$m\ddot{x}$に$x^{\prime }(q)$が掛かった項だけである。しかも関数$x(q)$の形は、どこにも使っていない。だから座標を替えても、式の形は変わらない。

多数の質点に束縛があっても、筋は変わらない。質点$k$の位置が、互いに独立な$f$個の座標と時刻を使って${\mathbf{r}}_k(q_1,\dots ,q_f,t)$と書けるとする。${\mathbf{F}}_k$はポテンシャルから出る力、${\mathbf{N}}_k$は束縛力とする。

10. 速度を${\dot{q}}_j$の1次式で書く

    $${\dot{\mathbf{r}}}_k=\sum _j\frac{\partial {\mathbf{r}}_k}{\partial q_j}{\dot{q}}_j+\frac{\partial {\mathbf{r}}_k}{\partial t}$$

11. ${\dot{q}}_i$の係数を読む

    $$\frac{\partial {\dot{\mathbf{r}}}_k}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial {\mathbf{r}}_k}{\partial q_i}$$

12. 運動方程式に$\frac{\partial {\mathbf{r}}_k}{\partial q_i}$を内積して足す

    $$\sum _k{m}_k{\ddot{\mathbf{r}}}_k\cdot \frac{\partial {\mathbf{r}}_k}{\partial q_i}=\sum _k({\mathbf{F}}_k+{\mathbf{N}}_k)\cdot \frac{\partial {\mathbf{r}}_k}{\partial q_i}$$

13. なめらかな束縛の力を消す

    $$\sum _k{\mathbf{N}}_k\cdot \frac{\partial {\mathbf{r}}_k}{\partial q_i}=0$$

手順13で、ダランベールの原理と仮想仕事の原理が働く。$\frac{\partial {\mathbf{r}}_k}{\partial q_i}$は束縛を破らずに動ける向きで、なめらかな束縛の力はその向きに仕事をしない。あとは1次元のときと同じ引き算になる。

14. 手順12の左辺を積の微分で書き換える

    $$\begin{array}{rl}\sum _k{m}_k{\ddot{\mathbf{r}}}_k\cdot \frac{\partial {\mathbf{r}}_k}{\partial q_i}& =\frac{d}{dt}\sum _k{m}_k{\dot{\mathbf{r}}}_k\cdot \frac{\partial {\mathbf{r}}_k}{\partial q_i}\\ & -\sum _k{m}_k{\dot{\mathbf{r}}}_k\cdot \frac{d}{dt}\frac{\partial {\mathbf{r}}_k}{\partial q_i}\end{array}$$

15. 手順11と微分の順序の交換で$T$に戻す

    $$\sum _k{m}_k{\ddot{\mathbf{r}}}_k\cdot \frac{\partial {\mathbf{r}}_k}{\partial q_i}=\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}$$

16. 右辺の力を$-{\nabla }_{k}V$と書く

    $$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}=-\frac{\partial V}{\partial q_i}$$

手順16は手順8と同じ形なので、手順9と同じく$L$にまとまる。

座標を替える効き目は、極座標で手を動かすとよく見える。平面の質点が、原点からの距離だけで決まる$V(r)$の中を動くとしよう。

17. 速度を動径と接線の成分に分ける

    $$v^2={\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2$$

18. $L$を書く

    $$L=\frac{1}{2}m\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2\right)-V(r)$$

19. $r$について公式に入れる

    $$m\ddot{r}-mr{\dot{\theta }}^2+\frac{dV}{dr}=0$$

20. $\theta$について公式に入れる

    $$\frac{d}{dt}\left(m{r}^2\dot{\theta }\right)=0$$

手順19の$-mr{\dot{\theta }}^2$は、$L$の中の$r^2{\dot{\theta }}^2$から機械的に出てきた。力を考えて足した項ではないが、向心加速度の分がきちんと入っている。半径2 m、角速度3 rad/sの等速円運動なら$\ddot{r}=0$で、手順19から$\frac{dV}{dr}=18m$となる。直交座標で$x=2\cos 3t$を2回微分しても、中心へ向かう加速度は18 m/s²で、答えは変わらない。手順20は角運動量の保存そのものだ。