運動量と力積

この計算の道すじ。 記号と単位を読み、運動方程式の両辺に$\Delta t$を掛けて公式を導く（手順1〜5）。壁で跳ね返るボールで向きの符号を確かめ（手順6〜8）、力が変わるときはグラフの面積で数える（手順9、10）。最後に、ぶつかる2台の台車で運動量の和が変わらないことを導く（手順11〜14）。

記号を読む

$m$は物の質量（kg）、$\vec{v}$は力を受ける前の速度、$\vec{v}{}^{\prime }$は受けたあとの速度（m/s）である。文字の上の矢印は、速さだけでなく向きももつ量の印だ。$\vec{F}$は物にはたらく力（N）、$\Delta t$（デルタ・ティー）は力がはたらいた時間（s）を表す。

質量と速度の積$m\vec{v}$を運動量という。止めにくさの目安で、単位はkg·m/sになる。質量0.15 kgの野球のボールが40 m/sで飛ぶと運動量は$0.15\times 40=6.0$ kg·m/sで、体重60 kgの人なら、ゆっくり歩くより遅い0.10 m/sで同じ運動量になる。

右辺の$\vec{F}\Delta t$は力と時間の積で、力積と呼ぶ。単位はN·sである。1 Nは質量1 kgの物に1 m/s²の加速度を生む力で、1 kg·m/s²と同じなので、1 N·sは1 kg·m/sに等しく、両辺の単位がそろう。

運動方程式から導く

質量2.0 kgの台車が1.0 m/sで進んでいるところを、進む向きに3.0 Nで4.0秒引き続ける。出発点は、力が一定のときの運動方程式だ。速度は、引く向きを＋とする。

1. 運動方程式を書く

   $$ma=F$$

2. 力が一定なら加速度も一定で、速度の変化を時間で割った値になる

   $$a=\frac{v^{\prime }-v}{\Delta t}$$

3. 手順1の$a$に手順2を入れる

   $$m\times \frac{v^{\prime }-v}{\Delta t}=F$$

4. 両辺に$\Delta t$を掛ける

   $$m(v^{\prime }-v)=F\Delta t$$

5. かっこを外す

   $$m{v}^{\prime }-mv=F\Delta t$$

台車の加速度は$3.0÷2.0=1.5$ m/s²で、4.0秒後の速さは$1.0+1.5\times 4.0=7.0$ m/sになる。運動量は$2.0\times 1.0=2.0$から$2.0\times 7.0=14$ kg·m/sへ、12増えた。力積も$3.0\times 4.0=12$ N·sで、ちょうど同じになる。

左辺は「あとの運動量 − 前の運動量」で、運動量の変化を表す。つまり、運動量の変化は受けた力積に等しい。

跳ね返りは向きで引く

運動量は向きをもつので、向きをそろえてから引く。質量0.20 kgのボールが、右向きに5.0 m/sで壁に当たり、左向きに4.0 m/sで跳ね返る。右向きを＋にとると、跳ね返ったあとの速度は−4.0 m/sである。

6. 前の運動量を出す（単位はkg·m/s）

   $$mv=0.20\times 5.0=1.0$$

7. あとの速度は負の数で入れる

   $$m{v}^{\prime }=0.20\times (-4.0)=-0.80$$

8. あとから前を引く

   $$m{v}^{\prime }-mv=-0.80-1.0=-1.8$$

ボールが壁から受けた力積は−1.8 N·s、つまり左向きに1.8 N·sである。速さの差だけを見て$0.20\times (5.0-4.0)=0.20$としてしまうと、9分の1の値になる。止めるだけなら1.0で済むのに、跳ね返すには、さらに逆向きの0.80を与えなければならないからだ。

変わる力はグラフの面積

ただ、ボールが壁に当たっている間の力は一定ではなく、0から大きくなって、また0に戻る。一定の力$F$を時間$\Delta t$だけかけたときの力積$F\Delta t$は、横に時間、縦に力をとったグラフの長方形の面積にあたる。力が変わるときは、時間を細かく区切り、細い帯の面積を足せばよい。

9. 帯の面積を全部足すと力積になる

   $$F_1\Delta t_1+F_2\Delta t_2+\cdots =m{v}^{\prime }-mv$$

10. 力積をかかった時間で割ると、平均の力が出る

    $$\overline{F}=\frac{m{v}^{\prime }-mv}{\Delta t}$$

$F_1$と$\Delta t_1$は1本目の帯の高さと幅で、$\overline{F}$の上の横線は「平均」の印である。図の山は作った形で、帯の高さは34、236、360、236、34 Nだ。面積の和は$(34+236+360+236+34)\times 0.002=1.8$ N·sで、壁が与えた力積の大きさと合う。

平均の力は$1.8÷0.010=180$ Nで、ボールにはたらく重力$0.20\times 9.8\approx 2.0$ Nの約90倍になる。

短く強く、長く弱く

同じ運動量の変化でも、かかる時間が長ければ、平均の力は小さくて済む。作った数の例で、質量60 gの卵が5.0 m/sで落ちてきて止まる場面を比べる。床なら0.0020秒、厚いクッションなら0.050秒で止まるとする。

床で止まるときの平均の力は、手順10に数を入れて求める。

$$\overline{F}=\frac{0.060\times 5.0}{0.0020}=150\text{N}$$

クッションなら、分母の時間が0.050秒になる。

$$\overline{F}=\frac{0.060\times 5.0}{0.050}=6.0\text{N}$$

運動量の変化はどちらも0.30 kg·m/sで、力積も同じ0.30 N·sだ。だから、止まるまでの時間が25倍になると、平均の力は25分の1になる。卵にはたらく重力は$0.060\times 9.8\approx 0.59$ Nなので、床では重力の250倍ほどの力がかかる。

止まっていた5.0 kgの台車を、力$F$で時間$\Delta t$だけ押す。上は力と時間のグラフで斜線の面積が力積、下は台車の速さで、破線は20 Nで0.5秒押したときを示す。50 Nで0.2秒押しても、10 Nで1.0秒押しても、面積は同じ10 N·sで、速さは同じ2.0 m/sになる。

ぶつかる2台の台車

では、2つの物体がぶつかり合うと、運動量はどうなるのだろうか。作用・反作用の法則により、互いに及ぼし合う力は同じ大きさで逆向きになる。押し合っている時間も同じなので、2つが受ける力積も、同じ大きさで逆向きだ。

台車Bが前を行く台車Aに後ろから追いつき、ぶつかって1つにつながる場面で確かめる。

11. Aが受ける力積を$F\Delta t$とする

    $$m_{\mathrm{A}}{v}_{\mathrm{A}}^{\prime }-m_{\mathrm{A}}{v}_{\mathrm{A}}=F\Delta t$$

12. Bは同じ大きさで逆向きの力積を受ける

    $$m_{\mathrm{B}}{v}_{\mathrm{B}}^{\prime }-m_{\mathrm{B}}{v}_{\mathrm{B}}=-F\Delta t$$

13. 2つの式を足すと、右辺が打ち消し合って0になる

    $$\begin{array}{rl}& (m_{\mathrm{A}}{v}_{\mathrm{A}}^{\prime }-m_{\mathrm{A}}{v}_{\mathrm{A}})\\ & +(m_{\mathrm{B}}{v}_{\mathrm{B}}^{\prime }-m_{\mathrm{B}}{v}_{\mathrm{B}})=0\end{array}$$

14. 前の運動量を右辺へ移す

    $$\begin{array}{rl}& m_{\mathrm{A}}{v}_{\mathrm{A}}^{\prime }+m_{\mathrm{B}}{v}_{\mathrm{B}}^{\prime }\\ & =m_{\mathrm{A}}{v}_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}{v}_{\mathrm{B}}\end{array}$$

Aは質量3.0 kgで速さ2.0 m/s、Bは1.0 kgで10 m/sとし、ぶつかったあとの共通の速さを$V$とおく。手順14は$(3.0+1.0)\times V=3.0\times 2.0+1.0\times 10=16$になり、両辺を4.0で割って$V=4.0$ m/sと出る。Aの運動量は6.0から12へ＋6.0、Bは10から4.0へ−6.0変わり、力積は確かに同じ大きさで逆向きだ。

ニュートンも『プリンキピア』の系3で、同じ数の組を例にしている。物質の量がBの3倍の球Aが速さ2で進み、後ろから球Bが速さ10で追うとき、運動の量は6と10で、ぶつかったあとも和は16のままだとした。外から力積を受けなければ、ぶつかり合う物の運動量の和は変わらない。

これが運動量保存の法則である。燃料を噴き出して進むロケットの速さを決めるツィオルコフスキーの公式も、この保存から出てくる。