平行軸の定理

慣性モーメントは軸まわりの回しにくさを表す量で、各部分の質量に、軸からの距離を2乗して掛けて足す。物体を質点$m_i$の集まりとみて、位置は軸に垂直な面の上で測る。重心Gを通る軸から、平行に距離$d$だけ離れた軸Oを考える。

1. 軸Oまわりの慣性モーメントを書く

   $$I=\sum _i{m}_i|{\mathbf{r}}_i{|}^2$$

2. Oから質点への位置を、Oから重心とその先に分ける

   $${\mathbf{r}}_i=\mathbf{d}+{\mathbf{r}}_i^{\prime }$$

3. 2乗を展開する

   $$|{\mathbf{r}}_i{|}^2=|{\mathbf{r}}_i^{\prime }{|}^2+2\mathbf{d}\cdot {\mathbf{r}}_i^{\prime }+d^2$$

4. 質量を掛けて足し、$\mathbf{d}$を和の外に出す

   $$\begin{array}{rl}I& =\sum _i{m}_i|{\mathbf{r}}_i^{\prime }{|}^2+2\mathbf{d}\cdot \sum _i{m}_i{\mathbf{r}}_i^{\prime }\\ & +d^2\sum _i{m}_i\end{array}$$

5. 重心から測った位置に質量で重みをつけた和は0

   $$\sum _i{m}_i{\mathbf{r}}_i^{\prime }=0$$

6. 第1項を$I_{\mathrm{G}}$、質量の和を$M$と書く

   $$I=I_{\mathrm{G}}+M{d}^2$$

手順5は重心の定義そのものである。重心を原点にとれば、質量で重みをつけた平均の位置が原点になるので、和は0になる。だから、どの軸からずらしても交差の項が消えるわけではない。ずらす前の軸が重心を通らなければ、手順4の真ん中の項は一般に残る。

$M{d}^2$は負にならないので、平行な軸のうちで慣性モーメントがいちばん小さいのは、重心を通る軸である。

7. 長さ$L$、質量$M$の一様な細い棒の中心まわりを積分する

   $$I_{\mathrm{G}}={\int }_{-L/2}^{L/2}\frac{M}{L}{x}^{2}dx=\frac{M{L}^2}{12}$$

8. 端を通る軸は$d=\frac{L}{2}$ずれている

   $$I=\frac{M{L}^2}{12}+M{\left(\frac{L}{2}\right)}^2=\frac{M{L}^2}{3}$$

つまり、端を軸にした値は中心を軸にした値の4倍になる。積分をやり直さなくても、ずれの2乗を足すだけで済む。

では、この定理は振り子でどう効くのか。重心が軸から$d$だけ下にある実体振り子では、小さな振れの周期が次の式で表される。

9. 実体振り子の周期を書く

   $$T=2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgd}}$$

10. 平行軸の定理を入れる

    $$T=2\pi \sqrt{\frac{I_{\mathrm{G}}+M{d}^2}{Mgd}}$$

11. $I_{\mathrm{G}}=M{k}^2$とおき、同じ周期をもつ単振り子の長さ$\ell$を読む

    $$\ell =\frac{I}{Md}=d+\frac{k^2}{d}$$

手順11の右辺は、$d$を$\frac{k^2}{d}$に替えても変わらない。重心から$d$の点で吊るしたとき、振動の中心は重心の向こう側$\frac{k^2}{d}$の点にある。そこへ軸を移すと、今度は元の軸が振動の中心になる。ボールが伝えるホイヘンスの入れ替えは、この対称性にあたる。また、相加平均と相乗平均の関係から$\ell \ge 2k$で、周期が最も短くなるのは$d=k$のとき。$k$は回転半径と呼ばれ、全質量を重心の軸から$k$の距離に集めても、重心まわりの慣性モーメントが変わらない長さを表す。