等加速度直線運動

直線上に$x$軸をとる。$t=0$の位置を原点、そのときの速度を$v_0$（初速度）、時刻$t$の速度を$v$、原点からの変位を$x$、一定の加速度を$a$とする。4つの文字はどれも向きをもち、正の向きと逆なら負の数になる。

1. 加速度の定義を書く

   $$a=\frac{v-v_0}{t}$$

2. 両辺に$t$を掛けて$v_0$を移す

   $$v=v_0+at$$

$v$-$t$グラフは、切片$v_0$、傾き$a$の直線になる。

距離はグラフのどこに現れるのか。ごく短い時間$\Delta t$なら速度はほぼ変わらず、その間の変位$v\Delta t$は細い帯の面積に等しい。帯を時刻0から$t$まで足すと、直線の下の面積が変位になる。

3. 直線の下の台形の面積を書く

   $$x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$$

4. 手順2の$v$を代入する

   $$x=\frac{1}{2}(v_0+v_0+at)t$$

5. かっこを外す

   $$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$

手順3の$\frac{1}{2}(v_0+v)$は、最初と最後の速度の平均である。オレームとガリレオの図は、この1行にあたる。

では、時間が分からないときはどうするのか。手順2と手順3から$t$を消す。

6. 手順2を$t$について解く

   $$t=\frac{v-v_0}{a}$$

7. 手順3の$t$に代入する

   $$x=\frac{1}{2}(v_0+v)\cdot \frac{v-v_0}{a}$$

8. 分子の積を展開する

   $$x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$$

9. 両辺に$2a$を掛ける

   $$v^2-v_0^2=2ax$$

手順6では$a$で割ったが、$a=0$でも手順9は$v=v_0$となって成り立つ。

3本目に新しい物理は入っていない。2本の式から$t$を消しただけで、独立な式は2本のままだ。その代わり、量を1つずつ欠いた式がそろう。

式	入っていない量
$v=v_0+at$	変位$x$
$x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$	速度$v$
$v^2-v_0^2=2ax$	時間$t$
$x=\frac{1}{2}(v_0+v)t$	加速度$a$

使い分けは表の右の列で決まる。問題に出てこない量、問われてもいない量が、右の列にある式を選べばよい。$v_0$、$v$、$a$、$t$、$x$の5つのうち3つが分かれば、残りの量も決まる。問われた量が1本の式で出ないのは、$v_0$が問われも与えられもしないときだけだ。$v_0$を含まない式は表に無いので、先に$v_0$を求める。

ただし、$x$は道のりではない。$v_0$が正で$a$が負だと直線は時間軸を横切り、その先の面積は負に数える。

それでも3本の式は、折り返したあともそのまま使える。$v_0=6$ m/s、$a=-2$ m/s²で$t=5$ sなら、手順5から$x=30-25=5$ mで、グラフの面積の差と一致する。