自由落下と鉛直投げ上げ

$v$は速度、$y$は出発点からの変位、$t$は時刻、$v_0$は初速度、$g$は重力加速度の大きさを表す。どちらの運動も空気抵抗を無視する。等加速度直線運動の2本の式に加速度を入れれば、2組の公式が出る。

1. 速度の式を書く

   $$v=v_0+at$$

2. 変位の式を書く

   $$y=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$

3. 自由落下は下向きを正に、$v_0=0$、$a=g$とする

   $$v=gt$$

4. 変位の式も同じ値で書き直す

   $$y=\frac{1}{2}g{t}^2$$

5. 投げ上げは上向きを正に、$a=-g$とする

   $$v=v_0-gt$$

6. 変位の式も同じ値で書き直す

   $$y=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$$

変わったのは、正の向きと$a$の符号だけだ。重力の向きは変わらないが、上向きを正にとれば$a=-g$と負になる。$a$が質量によらないのは、運動方程式$ma=mg$の両辺から$m$が消えるからである。

上向きを正にしたまま投げ上げの式に$v_0=0$を入れると、$y=-\frac{1}{2}g{t}^2$になる。つまり自由落下は、軸の向きを替えた投げ上げの特別な場合にすぎない。逆に投げ上げの$y$が負になっても、投げた点より下にあるというだけで、式はそのまま使える。

投げた物がどこまで上がるかも、この式から決まる。

7. 最高点では速度が0になる

   $$0=v_0-gt$$

8. $t$について解く

   $$t=\frac{v_0}{g}$$

9. 手順6に代入して高さを出す

   $$y=\frac{v_0^2}{g}-\frac{v_0^2}{2g}=\frac{v_0^2}{2g}$$

10. 投げた点に戻るとき$y=0$とおく

    $$v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2=0$$

11. $t=0$でない解をとる

    $$t=\frac{2v_0}{g}$$

12. 手順5に代入して速度を出す

    $$v=v_0-2v_0=-v_0$$

戻るまでの時間は、最高点までの時間のちょうど2倍である。速さも投げたときと等しい。下りは、上りの動きを時間の向きだけ逆にたどった形になっているからだ。

時間の入らない式も、同じ一歩で出る。

13. $v^2-v_0^2=2ay$に$a=-g$を入れる

    $$v^2-v_0^2=-2gy$$

$v=0$とおけば手順9にも戻れる。縦の動きをこの2組に任せ、横の動きを足すと、水平投射へ進める。