水平投射

投げた点を原点にして、水平に$x$軸、鉛直下向きに$y$軸をとる。$y$は下向きを正とするので、公式の$y$は落ちた距離そのものである。$v_0$は初速の大きさ、$g$は重力加速度の大きさで、空気の抵抗は考えない。

1. 水平方向には力がはたらかず、速度が変わらない

   $$v_x=v_0$$

2. 等速直線運動の式で$x$を書く

   $$x=v_{0}t$$

3. 鉛直方向は初速度0、加速度$g$で動く

   $$v_y=gt$$

4. 等加速度直線運動の式で$y$を書く

   $$y=\frac{1}{2}g{t}^2$$

手順4の式に、$v_0$は入っていない。

だから、真横へどれだけ速く投げても、同じ時刻の高さは変わらない。では、床まで何秒かかるのか。高さ$h$の台から投げるとして、$y$に$h$を入れる。

5. 落ちた距離を台の高さ$h$とおく

   $$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

6. $t$について解く

   $$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

7. 手順2に代入して飛距離を出す

   $$x=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

初速を2倍にすると飛距離も2倍になる。ところが高さを2倍にしても、飛距離は$\sqrt{2}$倍、約1.4倍にしか伸びない。

道筋の形は、2本の式から$t$を消せば分かる。

8. 手順2を$t$について解く

   $$t=\frac{x}{v_0}$$

9. 手順4に代入する

   $$y=\frac{g}{2v_0^2}{x}^2$$

つまり$y$は$x$の2次関数で、軌道は放物線である。上向きを正にとる本では、高さ$h$から投げた物の高さを$h-\frac{1}{2}g{t}^2$と書くが、軸の向きを替えても符号が変わるだけで運動は同じだ。

着地の速さには、落下時間と違って初速が効く。

10. 手順3に手順6の$t$を入れる

    $$v_y=g\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{2gh}$$

11. 2つの成分を三平方の定理で合わせる

    $$v=\sqrt{v_0^2+2gh}$$

手順11までは、地面を平らとして計算した。しかし地面は、サルヴィアチも認めたとおり丸いので、速く投げるほど足元の地面が先に逃げていく。球が落ちなくなる速さは、次のように出せる。

12. 半径$R$の地面が$x$先で下がる量を$s$とする

    $$(R-s{)}^2+x^2=R^2$$

13. 展開して、小さい$s^2$を無視する

    $$s\approx \frac{x^2}{2R}$$

14. 落ちた距離と地面の下がりを等しいとおく

    $$\frac{g}{2v_0^2}{x}^2=\frac{x^2}{2R}$$

15. $x^2$を消して$v_0$について解く

    $$v_0=\sqrt{gR}$$