群速度

図で納得する

山1つが進む速さ$v_{\mathrm{p}}$と、山の集まり（束）が進む速さ$v_{\mathrm{g}}$は、波長によって波の速さが変わると食い違う。束は、波長がわずかに違う波を重ねたとき、強め合う場所として現れる。束の速さは、2つの波の角振動数$\omega$の差を波数$k$の差で割った値で、その差を小さくした行き着く先が$\frac{d\omega }{dk}$になる。

波の形を$y=A\cos (kx-\omega t)$と書く。$x$は場所、$t$は時刻、$A$は振れ幅だ。$\cos$は角度に応じて1と−1のあいだを行き来し、山と谷のくり返しを作る。

角振動数$\omega$は、減衰振動や強制振動と共振と同じく、1往復を円の1周（360°、つまり$2\pi$ラジアン）に見立てて1秒に進む角度を表す。周期$T$とは$\omega =\frac{2\pi }{T}$の関係にある。

波数$k$は、1波長を円の1周に見立てたとき、1 mあたりに進む角度を表し、単位はrad/m。波長$\lambda$とは$k=\frac{2\pi }{\lambda }$の関係にある。ばね定数の$k$とは別物で、波の式ではこの意味で使う。

では、束はどうやってできるのか。波長がわずかに違う2つの波を足すと、山どうしがそろう所では強め合い、山と谷が重なる所では打ち消し合う。強め合った所が、波の束だ。

つまみで「束の速さ ÷ 山の速さ」を変えると、束の中心（三角）と山1つ（塗りつぶした点）が別々の速さで進む。レイリーが書いた深い水の波の群にあたる0.5では、山が束の後ろから現れ、束を追い越して前の端で消えていく。1では山と束がそろって進み、1を超えると山は束の前の端で現れて後ろへ抜ける。足した波は束が切れ目なく並んだ形で、振れ幅が0になる束と束のさかい目も、束と同じ速さで画面を横切る。

束が、どちらの波とも違う速さで進むのはなぜか。2つの波がそれぞれの速さで進むと、山のそろう場所は、山どうしのずれが変わる速さに合わせて大きく動く。目盛りの間隔が少し違う2本の物差しを重ねて片方を少し動かすと、目盛りのそろう所が、物差しの動きよりずっと大きく移るのと同じしくみだ。

横軸に$k$、縦軸に$\omega$をとり、波長ごとの角振動数をグラフに描いてみる。山の速さ$\frac{\omega }{k}$は、原点からグラフの点まで引いた線の傾き。束の速さ$\frac{d\omega }{dk}$は、その点でグラフに接する線（接線）の傾きだ。

グラフがまっすぐなら2つの傾きは等しく、束は形を保ったまま山と一緒に進むが、曲がっていると2つの傾きはずれる。

式で確かめる

微分$\frac{d\omega }{dk}$は、$k$をほんの少し変えたとき$\omega$がどれだけの割合で変わるかを表し、グラフでは接線の傾きにあたる。まず山の速さを出す。$\cos$は角度が0のとき最大の1になるので、角度$kx-\omega t$が0の所に山が1つある。

1. 山は$kx-\omega t=0$の所にあるとして、位置を出す

   $$x=\frac{\omega }{k}t$$

2. 位置を時刻で割り、山の速さを出す

   $$v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega }{k}$$

3. $\omega =\frac{2\pi }{T}$と$k=\frac{2\pi }{\lambda }$を入れる

   $$v_{\mathrm{p}}=\frac{2\pi /T}{2\pi /\lambda }=\frac{\lambda }{T}$$

手順3は、高校で習う「波の速さ = 波長 ÷ 周期」と同じ式だ。次は束の速さで、2つの$\cos$の和を積に直す公式$\cos P+\cos Q=2\cos \frac{P-Q}{2}\cos \frac{P+Q}{2}$を使う。この公式は、加法定理から出る$\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \cos \beta$で、$\alpha +\beta =P$、$\alpha -\beta =Q$とおいたものだ。

数を入れると、$P=60^{\circ }$、$Q=0^{\circ }$なら左辺は$0.5+1=1.5$、右辺は$2\cos 30^{\circ }\cos 30^{\circ }=2\times 0.866\times 0.866\approx 1.5$で一致する。2つの波の差を$\Delta k=k_2-k_1$、$\Delta \omega ={\omega }_2-{\omega }_1$、平均を$\bar{k}=\frac{k_1+k_2}{2}$、$\bar{\omega }=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$と書く。

4. 波数と角振動数が少し違う2つの波を足す

   $$\begin{array}{rl}y=& A\cos (k_{1}x-{\omega }_{1}t)\\ & +A\cos (k_{2}x-{\omega }_{2}t)\end{array}$$

5. 和を積に直す公式を使う

   $$\begin{array}{rl}y=& 2A\cos \frac{\Delta kx-\Delta \omega t}{2}\\ & \times \cos (\bar{k}x-\bar{\omega }t)\end{array}$$

公式の$P$に2つ目の波の$k_{2}x-{\omega }_{2}t$、$Q$に1つ目の波の$k_{1}x-{\omega }_{1}t$を入れると、$\frac{P-Q}{2}$が$\frac{\Delta kx-\Delta \omega t}{2}$、$\frac{P+Q}{2}$が$\bar{k}x-\bar{\omega }t$になる。後ろの$\cos (\bar{k}x-\bar{\omega }t)$は、平均の波数と角振動数で細かく揺れる波を表す。前の$2A\cos \frac{\Delta kx-\Delta \omega t}{2}$はゆっくり変わる振れ幅で、図の破線の包絡線にあたる。

6. 包絡線の山を$\Delta kx-\Delta \omega t=0$の所として位置を出す

   $$x=\frac{\Delta \omega }{\Delta k}t$$

7. 位置を時刻で割り、束の速さを出す

   $$v_{\mathrm{g}}=\frac{\Delta \omega }{\Delta k}$$

8. 2つの波の差を0に近づける

   $$v_{\mathrm{g}}=\frac{d\omega }{dk}$$

手順7の$\frac{\Delta \omega }{\Delta k}$は、グラフの上の2点を結ぶ線（割線）の傾きだ。2点を近づければ割線は接線に重なり、傾きは$\frac{d\omega }{dk}$になる。

数を入れてみよう。深い水の波は$\omega =\sqrt{gk}$に従う（$g=9.8$ m/s²は重力加速度）。$k_1=10.0$ rad/m、$k_2=10.5$ rad/mとすると、次の表になる。

量	計算	値
${\omega }_1$	$\sqrt{9.8\times 10.0}$	9.8995 rad/s
${\omega }_2$	$\sqrt{9.8\times 10.5}$	10.1440 rad/s
山の速さ	$\bar{\omega }÷\bar{k}=10.0218÷10.25$	約0.978 m/s
束の速さ	$\Delta \omega ÷\Delta k=0.2445÷0.5$	約0.489 m/s

つまり束の速さは、山の速さのほぼ半分だ。レイリーの表で「深い水の波」の行にある比と同じである。