ベクトルの内積

内積は、片方のベクトルの長さに、もう片方がその向きに落とす影の長さを掛けた数だ。$\cos \theta$が影の長さを表すことさえ押さえれば、三平方の定理をくり返し使うだけで、角を使わずに成分だけで計算できる式$a_1{b}_1+a_2{b}_2$が出る。

ベクトルは、向きと大きさをもつ矢印である。$\vec{a}$の大きさ、つまり矢印の長さを$|\vec{a}|$と書く。2本の矢印の始点を同じ点Oにそろえたとき、あいだにできる角$\theta$を2つのベクトルのなす角といい、$0^{\circ }$から$180^{\circ }$までの値をとる。

$\cos \theta$は、長さ1の棒を角$\theta$だけ傾けたときに、もとの向きへ落ちる影の長さである。$0^{\circ }$なら1、$60^{\circ }$なら0.5、$90^{\circ }$なら0。ただし$90^{\circ }$を超えると影は反対側へ落ちるので、負の数で表す。長さ$|\vec{b}|$の矢印なら影も$|\vec{b}|$倍になり、$|\vec{b}|\cos \theta$と書ける。

内積$\vec{a}\cdot \vec{b}$は、$|\vec{a}|$にこの影の長さを掛けた数だ。式で書けば$|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$で、答えは矢印ではなく1つの数になる。単位は2つのベクトルの単位を掛けたもので、力（N）と移動（m）の内積ならN·m、つまりJである。

つまみで$\theta$を動かすと、$\vec{b}$の影は$90^{\circ }$でいったん長さ0になるが、そこを過ぎると反対向きに伸びる。だから内積の符号は影の向きで決まり、なす角が鋭角なら正、直角なら0、鈍角なら負になる。

では、角が分からず、成分しか分からないベクトルの内積は求められるのだろうか。成分とは、矢印が横に何進み、縦に何進むかを並べた数の組で、$\vec{a}=(a_1,a_2)$、$\vec{b}=(b_1,b_2)$のように書く。たとえば$(3,1)$は、右へ3、上へ1進む矢印だ。

$\vec{a}$と$\vec{b}$の終点をA、Bとして、三角形OABの辺ABの長さを2通りに書けばよい。Bから直線OAへ垂線を下ろし、その足をHとする。

1. OからHまでの長さは、$\vec{b}$の影の長さ

   $$\mathrm{OH}=|\vec{b}|\cos \theta$$

2. 直角三角形OHBの三平方の定理${\mathrm{OB}}^2={\mathrm{OH}}^2+{\mathrm{BH}}^2$に、$\mathrm{OB}=|\vec{b}|$と手順1を入れて、BH²について解く

   $${\mathrm{BH}}^2=|\vec{b}{|}^2-|\vec{b}{|}^2{\cos }^2\theta$$

3. AHは、$|\vec{a}|$から影の長さを引いた長さ

   $$\mathrm{AH}=|\vec{a}|-|\vec{b}|\cos \theta$$

4. 直角三角形AHBで三平方の定理を使う

   $${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{BH}}^2+{\mathrm{AH}}^2$$

でも、Hが線分OAの外に出たらどうなるのか。$\theta$が鈍角なら$\cos \theta$は負なので、AHは$|\vec{a}|$より長くなるだけで、手順3の式はそのまま使える。Hが点Aを越えたときも、差を2乗すれば同じ値になる。

5. 手順2と3を代入する

   $$\begin{array}{rl}{\mathrm{AB}}^2& =|\vec{b}{|}^2-|\vec{b}{|}^2{\cos }^2\theta \\ & +(|\vec{a}|-|\vec{b}|\cos \theta {)}^2\end{array}$$

6. かっこの2乗を展開する

   $$\begin{array}{rl}{\mathrm{AB}}^2& =|\vec{b}{|}^2-|\vec{b}{|}^2{\cos }^2\theta \\ & +|\vec{a}{|}^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \\ & +|\vec{b}{|}^2{\cos }^2\theta \end{array}$$

7. ${\cos }^2\theta$を含む2つの項を打ち消す

   $$\begin{array}{rl}{\mathrm{AB}}^2& =|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2\\ & -2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \end{array}$$

8. $|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$を内積に書きかえる

   $${\mathrm{AB}}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$$

手順7の式は余弦定理と呼ばれる。つまり三平方の定理に、角が直角からずれた分の補正$-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$を足した形で、$\theta =90^{\circ }$なら補正が0になって元に戻る。

次に、同じAB²を成分で書く。$|\vec{a}|$も$|\vec{b}|$もABも、横の差と縦の差を2辺とする直角三角形の斜辺なので、三平方の定理で表せる（ベクトルの成分と大きさ）。

9. $|\vec{a}{|}^2$と$|\vec{b}{|}^2$を成分で書く

   $$|\vec{a}{|}^2=a_1^2+a_2^2,|\vec{b}{|}^2=b_1^2+b_2^2$$

10. AB²を、横の差と縦の差で書く

    $${\mathrm{AB}}^2=(b_1-a_1{)}^2+(b_2-a_2{)}^2$$

11. 2つの2乗を展開する

    $$\begin{array}{rl}{\mathrm{AB}}^2& =b_1^2-2a_1{b}_1+a_1^2\\ & +b_2^2-2a_2{b}_2+a_2^2\end{array}$$

12. 手順8を、$2\vec{a}\cdot \vec{b}$について解く

    $$2\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-{\mathrm{AB}}^2$$

13. 右辺に手順9と11を入れる

    $$\begin{array}{rl}2\vec{a}\cdot \vec{b}& =a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2\\ & -(b_1^2-2a_1{b}_1+a_1^2\\ & +b_2^2-2a_2{b}_2+a_2^2)\end{array}$$

14. かっこを外し、中の符号をすべて変える

    $$\begin{array}{rl}2\vec{a}\cdot \vec{b}& =a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2\\ & -b_1^2+2a_1{b}_1-a_1^2\\ & -b_2^2+2a_2{b}_2-a_2^2\end{array}$$

15. 同じ2乗の項どうしを打ち消す

    $$2\vec{a}\cdot \vec{b}=2a_1{b}_1+2a_2{b}_2$$

16. 両辺を2で割る

    $$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$$

実際に$\vec{a}=(3,1)$、$\vec{b}=(1,2)$を入れると、どの行も同じ答えにたどり着く。

手順	$\vec{a}=(3,1)$、$\vec{b}=(1,2)$を入れた値
9	$|\vec{a}{|}^2=9+1=10$、$|\vec{b}{|}^2=1+4=5$
10	${\mathrm{AB}}^2=(1-3{)}^2+(2-1{)}^2=4+1=5$
12	$2\vec{a}\cdot \vec{b}=10+5-5=10$
16	$\vec{a}\cdot \vec{b}=3\times 1+1\times 2=5$

内積の定義の式$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$を$\cos \theta$について解くと、$\cos \theta =\frac{5}{\sqrt{10}\times \sqrt{5}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$になる。長さ1の棒を$45^{\circ }$傾けたときの影の長さで、2本のなす角は$45^{\circ }$と分かる。

$\vec{b}$を$\vec{a}$そのものにすると、なす角は$0^{\circ }$で$\cos 0^{\circ }=1$なので、$\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$となる。成分の式でも$a_1^2+a_2^2$になり、大きさの式と合う。また、どちらも$\vec{0}$でない2本のベクトルの内積が0になるのは、$\cos \theta =0$のとき、つまり2本が垂直なときだけである。