斜方投射

投げた点を原点にし、水平に$x$軸、鉛直上向きに$y$軸をとる。初速度の大きさを$v_0$、水平からの角を$\theta$（$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$）、重力加速度の大きさを$g$とし、空気抵抗は考えない。

1. 初速度を水平と鉛直の成分に分ける

   $$v_{0x}=v_0\cos \theta ,v_{0y}=v_0\sin \theta$$

2. 水平方向には力がはたらかず、等速で進む

   $$x=v_0\cos \theta \cdot t$$

3. 鉛直方向は、初速度$v_0\sin \theta$の投げ上げになる

   $$v_y=v_0\sin \theta -gt$$

4. 鉛直方向の位置を書く

   $$y=v_0\sin \theta \cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2$$

手順3と4は、鉛直投げ上げの$v_0$を$v_0\sin \theta$に置き換えただけだ。水平の成分は、縦の動きに何の影響も与えない。$\theta =0^{\circ }$にして台の上から投げれば、水平投射になる。

5. 最高点では鉛直方向の速度が0になる

   $$t_1=\frac{v_0\sin \theta }{g}$$

6. 手順4に代入して最高点の高さを出す

   $$H=\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{g}-\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g}=\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g}$$

7. 地面に戻るとき$y=0$とおき、$t\ne 0$の解をとる

   $$t_2=\frac{2v_0\sin \theta }{g}$$

8. 手順2に代入して水平到達距離を出す

   $$R=v_0\cos \theta \cdot \frac{2v_0\sin \theta }{g}=\frac{2v_0^2\sin \theta \cos \theta }{g}$$

9. 2倍角の公式$2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$を使う

   $$R=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$$

では、どの角で投げれば最も遠くへ届くのか。$\sin 2\theta$は$2\theta =90^{\circ }$のときに最大の1をとるので、水平到達距離は$\theta =45^{\circ }$で最大の$\frac{v_0^2}{g}$になる。また$\sin (180^{\circ }-2\theta )=\sin 2\theta$なので、$\theta$と$90^{\circ }-\theta$は同じ距離に届く。2倍角の公式そのものは、三角関数の加法定理から出る。

サグレドの話に戻ると、第6点が45°なら、四分儀の1点は7.5°にあたる。サルヴィアチが同じ距離になる組として挙げた第7点と第5点は52.5°と37.5°で、足すとちょうど90°だ。

ただし、落ちる点は同じでも、飛び方は同じではない。高さは${\sin }^2\theta$に、滞空時間は$\sin \theta$に比例するからだ。60°で投げた球は、30°の球の3倍の高さまで上がり、$\sqrt{3}$倍、約1.7倍長く飛んでいる。