三角形の辺と角の大小

△ABCで、頂点A, B, Cと向かい合う辺の長さを$a$, $b$, $c$、角の大きさを$A$, $B$, $C$とする。まず、$a>b$なら$A>B$となることを示す。

1. $b<a$なので、辺CBの上に$CD=CA$となる点Dをとれる

   $$CD=b<a=CB$$

2. △CADは二等辺三角形なので、底角が等しい

   $$\angle CAD=\angle CDA$$

3. ∠CDAは△ABDの外角で、隣り合わない内角の和に等しい

   $$\angle CDA=\angle DAB+\angle ABD$$

4. $\angle DAB>0$で、∠ABDは角$B$そのもの

   $$\angle CDA>B$$

5. Dは辺CBの上にあるので、線分ADは角$A$の内側を通る

   $$A=\angle CAD+\angle DAB>\angle CAD$$

6. 手順2、4、5をつなぐ

   $$A>\angle CAD=\angle CDA>B$$

エウクレイデスも命題18で、長い辺から短い辺と同じ長さを切り取り、二等辺三角形を作った。ただし手順3の「外角は内角の和に等しい」は、平行線を使う命題32で初めて証明されるので、命題18ではまだ使えない。エウクレイデスは命題16「外角は、隣り合わないどちらの内角よりも大きい」で済ませている。手順4に要るのは大小だけだから、それで足りる。

次は逆向きに、$A>B$なら$a>b$となることを示す。$a$と$b$の大小は3通りしかないので、2通りを順につぶす。

7. $a$と$b$の関係は次のどれか1つ

   $$a>b,a=b,a<b$$

8. $a=b$なら二等辺三角形の底角が等しくなり、仮定に反する

   $$a=b⟹A=B$$

9. $a<b$なら、手順1〜6で$a$と$b$を入れ替えて仮定に反する

   $$a<b⟹A<B$$

10. 残る1通りが結論になる

    $$a>b$$

11. 2つの向きをまとめる

    $$a>b⟺A>B$$

命題19の証明もこの形で、命題18と、二等辺三角形の底角が等しいという命題5しか使わない。同じ筋で$a=b⟺A=B$も成り立つ。辺を長い順に並べれば、向かい合う角も大きい順に並ぶ。

すると、直角や鈍角と向かい合う辺が、ほかのどの辺より長いことも分かる。残り2つの角は和が90°以下なので、どちらも90°未満になるからだ。

12. 直線ℓの外の点Pから垂線PHを引き、ℓの上にH以外の点Qをとる

    $$\angle PHQ=90^{\circ }$$

13. 内角の和から、Qの角は90°より小さい

    $$\angle PQH=90^{\circ }-\angle QPH<90^{\circ }$$

14. 大きい角の向かいの辺は長い

    $$PQ>PH$$

点から直線までの距離を、垂線の長さで測ってよい理由がこれである。