減衰振動

図で納得する

振れ幅は、1往復ごとに同じ割合で縮む。割合が一定なら、縮み方はネイピア数$e$の累乗で書ける。式で解くときも、縮む部分を外に出せば、残りは振れ幅が一定の単振動になる。

おもりの質量を$m$、ばね定数を$k$、抵抗の強さを$b$とし、つり合いの位置からのずれ（変位）を$x$とする。文字の上の点は時間についての変化の速さの印で、$\dot{x}$は1秒あたりに$x$が変わる量、つまり速度、$\ddot{x}$は速度が1秒あたりに変わる量、つまり加速度である。ばねはおもりを引き戻す力$-kx$を、抵抗は動く向きと逆向きの力$-b\dot{x}$を出す。

では、抵抗があると、振れ幅はどう縮むのか。山の高さを順に並べると、1往復ごとに、前の山に同じ数を掛けた高さになっていく。0.8を掛け続けると、山は1、0.8、0.64、0.512と、前の山との比を保ったまま下がっていく。

毎回同じ割合で縮む量は、ネイピア数$e\approx 2.718$の累乗で書ける。右肩の数（指数）が負の累乗は逆数のことで、$e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0.37$、$e^{-2}=\frac{1}{e^2}\approx 0.14$になる。

$\gamma$（ガンマ）は縮む速さを表す数で、単位はs⁻¹。$e^{-\gamma t}$は、時間が$\frac{1}{\gamma }$たつごとに指数が1ずつ減るので、そのたびに0.37倍になる。$\gamma$は抵抗の強さ$b$と質量$m$から$\gamma =\frac{b}{2m}$と決まり、$\gamma$が大きいほど速く縮む。

抵抗$b$を大きくすると、縮み方が速くなり、揺れの周期も少し長くなる。$b$が$2\sqrt{mk}$に届くと、おもりは一度も反対側へ行かずに、つり合いの位置へ戻る。この境目を臨界減衰といい、それより抵抗が強い場合を過減衰という。

式で確かめる

ばねの力と抵抗の力を、運動方程式$m\ddot{x}=F$に入れる。

1. おもりにはたらく力の和を書く

   $$F=-kx-b\dot{x}$$

2. 運動方程式に入れる

   $$m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}$$

3. 右辺の2つの項を左辺へ移す

   $$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$$

4. 両辺を$m$で割る

   $$\ddot{x}+\frac{b}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0$$

5. $\gamma =\frac{b}{2m}$、${\omega }_0^2=\frac{k}{m}$とおく

   $$\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$$

${\omega }_0$（オメガ・ゼロ）は抵抗がないときの角振動数である。角振動数は、1往復を円の1周（2πラジアン）に見立てたとき、1秒あたりに進む角度を表し、単位はrad/s。フックの法則のばねにつけたおもりは、周期$\frac{2\pi }{{\omega }_0}$で振動する。

手順5の真ん中の項さえなければ、単振動の式そのものだ。そこで、縮む部分$e^{-\gamma t}$を外に出し、残りを$y$とおく。

微分は、ある量が時間とともに変わる速さを求める計算で、$x$を1回微分したものが$\dot{x}$、2回微分したものが$\ddot{x}$である。2つの関数の積を微分すると、「前を微分して後ろはそのまま」と「前はそのままで後ろを微分」の和になり、これを積の微分の規則という。$e^{-\gamma t}$を微分すると、形を変えずに$-\gamma$倍の$-\gamma e^{-\gamma t}$になる。

6. $x$を2つの積に分けて書く

   $$x=e^{-\gamma t}y$$

7. 積の微分の規則で$\dot{x}$を出す

   $$\dot{x}=-\gamma e^{-\gamma t}y+e^{-\gamma t}\dot{y}$$

8. $e^{-\gamma t}$でくくる

   $$\dot{x}=e^{-\gamma t}(\dot{y}-\gamma y)$$

9. 手順8を、積の微分の規則でもう一度微分する

   $$\begin{array}{rl}\ddot{x}=& -\gamma e^{-\gamma t}(\dot{y}-\gamma y)\\ & +e^{-\gamma t}(\ddot{y}-\gamma \dot{y})\end{array}$$

10. $e^{-\gamma t}$でくくり、括弧の中をまとめる

    $$\ddot{x}=e^{-\gamma t}(\ddot{y}-2\gamma \dot{y}+{\gamma }^{2}y)$$

11. 手順5の式に、手順6・8・10を入れる

    $$\begin{array}{rl}& e^{-\gamma t}(\ddot{y}-2\gamma \dot{y}+{\gamma }^{2}y)\\ & +2\gamma e^{-\gamma t}(\dot{y}-\gamma y)+{\omega }_0^2{e}^{-\gamma t}y=0\end{array}$$

12. 0にならない$e^{-\gamma t}$で両辺を割る

    $$(\ddot{y}-2\gamma \dot{y}+{\gamma }^{2}y)+2\gamma (\dot{y}-\gamma y)+{\omega }_0^{2}y=0$$

13. 括弧を外す

    $$\ddot{y}-2\gamma \dot{y}+{\gamma }^{2}y+2\gamma \dot{y}-2{\gamma }^{2}y+{\omega }_0^{2}y=0$$

14. 同じ種類の項をまとめる

    $$\ddot{y}+({\omega }_0^2-{\gamma }^2)y=0$$

15. ${\omega }^{\prime 2}={\omega }_0^2-{\gamma }^2$とおき、右辺へ移す

    $$\ddot{y}=-{\omega }^{\prime 2}y$$

16. 単振動の解を使う

    $$y=A\cos ({\omega }^{\prime }t+\phi )$$

17. 手順6に戻す

    $$x=A{e}^{-\gamma t}\cos ({\omega }^{\prime }t+\phi )$$

手順13から14で、$\dot{y}$の項がちょうど打ち消し合う。縮む部分を外に出したのは、この打ち消し合いを起こすためだった。手順15は、加速度が変位に比例して逆向きという単振動の式で、振り子の周期の式もこの形から出る。

手順16の$\cos$は、円の上を一定の速さで回る点の横の位置を表す関数で、−1と1のあいだを行き来する。$A$は振れ幅、$\phi$（ファイ）は動き始めの位置で決まる定数で、$A\cos ({\omega }^{\prime }t+\phi )$は2回微分すると$-{\omega }^{\prime 2}$倍の自分に戻るので、手順15を満たす。

ただし、この形の解が使えるのは$\gamma <{\omega }_0$のときに限られる。$\gamma$が${\omega }_0$を超えると${\omega }^{\prime 2}$が負になり、おもりは振動しない。ちょうど$\gamma ={\omega }_0$、つまり$b=2\sqrt{mk}$のときが臨界減衰である。

数を入れてみる。質量0.50 kg、ばね定数50 N/m、抵抗の強さ0.36 kg/sのとき、値は次の表になる。

量	計算	値
$\gamma$	$0.36÷(2\times 0.50)$	0.36 s⁻¹
${\omega }_0$	$\sqrt{50÷0.50}$	10 rad/s
${\omega }^{\prime }$	$\sqrt{100-0.36^2}$	約9.99 rad/s
$T^{\prime }$	$2\pi ÷{\omega }^{\prime }$	約0.629 s
1往復の比	$e^{-0.36\times 0.629}$	約0.80

$\gamma$が${\omega }_0$の4%にも満たないので、周期は抵抗がないときとほとんど変わらない。それでも振れ幅は1往復で2割縮み、図で見た0.8倍の縮み方になる。