強制振動と共振

図で納得する

揺すり続けた振動子は、やがて揺する力と同じ周期で揺れるようになる。そのときの振れ幅$A$は、ばねの力、抵抗の力、揺する力の3つが1往復の中でどうつり合うかで決まり、答えは直角三角形1つに収まる。微分を使ったきちんとした導出は「式で確かめる」で追える。高校の物理基礎では、共振をおんさの音のような現象として習うが、振れ幅の式は大学の力学の内容だ。

ばね定数$k$のばねに質量$m$のおもりをつけ、速さに比例する抵抗（比例定数$b$）を受けながら、$F_0\cos \omega t$の力で揺する。$x$はつり合いの位置からのずれで、$A$は揺れが落ち着いたあとの振れ幅である。

角振動数$\omega$は、揺れを円の上を回る点の影とみたときに、その点が1秒間に回る角度である。角はラジアンで測り、1回りが$2\pi$（$360^{\circ }$）なので、周期$T$とは$\omega =\frac{2\pi }{T}$の関係にある。おもりの位置$A\cos \omega t$は、半径$A$の円を回る点の、横への影にあたる。

${\omega }_0=\sqrt{k/m}$は、揺すらずに放したときの揺れの角振動数で、ばねとおもりだけで決まる（フックの法則、振り子の周期）。$\gamma =\frac{b}{2m}$は抵抗で揺れが縮む速さを表し、減衰振動と同じ記号を使う。読みもの「ブランコはなぜタイミングよくこぐと高く上がるのか」は、この2倍の$b/m$を$\gamma$と書いているので、この記事の$2\gamma$がそちらの$\gamma$にあたる。

つまみで揺する速さ$\omega /{\omega }_0$を変えると、おもりは初めのうち不ぞろいに揺れるが、しばらくすると揺する力と同じ周期に落ち着く。落ち着いた振れ幅は、グラフの輪が点まで上がった高さ。$\omega$が${\omega }_0$に近いほど振れ幅は大きく、減衰の$\gamma$を小さくすると、山は高く細くなる。

揺する速さで、おもりの動き方は3通りに分かれる。ゆっくり揺すると、おもりは力と同じ向きに動き、振れ幅は力をばねで受け止めたときの伸び$F_0/k$に近い。$\omega ={\omega }_0$では、おもりは力より4分の1周期遅れて大きく揺れる。速く揺すると、おもりは力と逆向きに、小さくしか揺れない。

では、なぜ${\omega }_0$の近くで大きくなるのか。落ち着いた揺れでは、おもりは円を回る点の影と同じ動きをする。影の加速度はいつも中心を向き、大きさはずれ$x$の${\omega }^2$倍だ。一方、ばねは1 kgあたり${\omega }_0^{2}x$の力で中心へ引く。

ばねが引く力と、この揺れに要る力の差$({\omega }_0^2-{\omega }^2)x$は、揺する力が受け持つしかない。この「ばねと慣性の分」は位置と同じ形で変わり、山の大きさは$({\omega }_0^2-{\omega }^2)A$になる。抵抗の力も揺する力が打ち消していて、1 kgあたり速さの$2\gamma$倍。円を回る点の速さは$\omega A$なので、山の大きさは$2\gamma \omega A$で、位置より4分の1周期ずれて変わる。

4分の1周期ずれて変わる2つの量を、円を回る2本の矢印として描いてみる。2本はいつも直角に交わり、合わせた矢印が揺する力$F_0/m$になる。だから、三平方の定理が使えるのだ。

直角三角形の角$\phi$は、おもりの揺れが力より遅れる量を、1周期を$360^{\circ }$とみた角で表したものだ。$\phi =90^{\circ }$なら、4分の1周期の遅れになる。

三平方の式を$A$について解けば、共振曲線の式$A(\omega )$が出る。$\omega ={\omega }_0$では横の辺が0になり、縦の辺$2\gamma {\omega }_{0}A$だけが揺する力に等しくなる。つまり抵抗が小さいほど、同じ力に見合う振れ幅は大きい。

式で確かめる

記号を2つ足す。$\dot{x}$は$x$を時間で1回微分したもので、その時刻の速度を表す。速度は速さに向きの符号を付けた量だ。$\ddot{x}$は2回微分したもので、加速度である。$x=A\cos (\omega t-\phi )$のように揺れるなら、速度は位置のグラフの傾きで、位置より4分の1周期だけ早く山が来る。

1. おもりの運動方程式を書く

   $$m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}+F_0\cos \omega t$$

2. 右辺の$-kx$と$-b\dot{x}$を左辺へ移す

   $$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos \omega t$$

3. 両辺を$m$で割る

   $$\ddot{x}+\frac{b}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=\frac{F_0}{m}\cos \omega t$$

4. $\frac{b}{m}=2\gamma$、$\frac{k}{m}={\omega }_0^2$と書く

   $$\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=\frac{F_0}{m}\cos \omega t$$

5. 落ち着いた揺れを、遅れ$\phi$のある余弦とおく

   $$x=A\cos (\omega t-\phi )$$

6. 1回微分して速度を出す

   $$\dot{x}=-A\omega \sin (\omega t-\phi )$$

7. もう1回微分して加速度を出す

   $$\ddot{x}=-A{\omega }^2\cos (\omega t-\phi )$$

手順6と7では、$\cos$を微分すると$-\sin$に、$\sin$を微分すると$\cos$になり、中身の$\omega t$から$\omega$が1つずつ前に出る。

8. 手順4の左辺に、手順5〜7を入れる

   $$\begin{array}{rl}& -A{\omega }^2\cos (\omega t-\phi )\\ & -2\gamma A\omega \sin (\omega t-\phi )\\ & +{\omega }_0^{2}A\cos (\omega t-\phi )=\frac{F_0}{m}\cos \omega t\end{array}$$

9. $\cos (\omega t-\phi )$の項をまとめる

   $$\begin{array}{rl}& ({\omega }_0^2-{\omega }^2)A\cos (\omega t-\phi )\\ & -2\gamma \omega A\sin (\omega t-\phi )=\frac{F_0}{m}\cos \omega t\end{array}$$

10. 右辺の$\omega t$を$(\omega t-\phi )+\phi$とみて、加法定理で開く

    $$\begin{array}{rl}\cos \omega t& =\cos (\omega t-\phi )\cos \phi \\ & -\sin (\omega t-\phi )\sin \phi \end{array}$$

11. どの時刻でも等しくなるよう、$\cos (\omega t-\phi )$の係数をそろえる

    $$({\omega }_0^2-{\omega }^2)A=\frac{F_0}{m}\cos \phi$$

12. $\sin (\omega t-\phi )$の係数をそろえる

    $$2\gamma \omega A=\frac{F_0}{m}\sin \phi$$

手順11と12は、「図で納得する」の直角三角形の横の辺と縦の辺を、斜辺と角$\phi$で書いたものにあたる。

13. 手順11と12を2乗して足す

    $$\begin{array}{rl}& A^2\{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\gamma \omega {)}^2\}\\ & ={\left(\frac{F_0}{m}\right)}^2({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )\end{array}$$

14. ${\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi =1$を使う

    $$\begin{array}{rl}& A^2\{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\gamma \omega {)}^2\}\\ & ={\left(\frac{F_0}{m}\right)}^2\end{array}$$

15. $A>0$として平方根をとる

    $$A(\omega )=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(2\gamma \omega {)}^2}}$$

16. 手順12を手順11で割り、遅れの角を出す

    $$\tan \phi =\frac{2\gamma \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$$

$\omega <{\omega }_0$なら分母が正で$\phi$は$90^{\circ }$より小さく、$\omega >{\omega }_0$なら分母が負で$90^{\circ }$を超える。図で見た3通りの揺れ方は、この式の符号の違いだったのだ。

手順5は、揺すり始めてしばらくたったあとの揺れである。揺すり始めた直後は、減衰振動と同じ角振動数${\omega }^{\prime }=\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$の揺れが重なっている。この揺れは、時間が$\frac{1}{\gamma }$たつごとに約0.37倍（$e^{-\gamma t}$）に縮み、その数倍の時間で消えていく。ミニシミュレーションで、輪が点に追いつくまでの時間がこれにあたる。

では、$A$がいちばん大きくなる$\omega$はどこか。分母の根号の中を${\omega }^2$の2次式とみて、平方完成すればよい。

17. 根号の中を展開する

    $$\begin{array}{rl}& ({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+4{\gamma }^2{\omega }^2\\ & ={\omega }^4-2({\omega }_0^2-2{\gamma }^2){\omega }^2+{\omega }_0^4\end{array}$$

18. ${\omega }^2$について平方完成する

    $$\begin{array}{rl}& =({\omega }^2-{\omega }_0^2+2{\gamma }^2{)}^2\\ & +4{\gamma }^2({\omega }_0^2-{\gamma }^2)\end{array}$$

19. 最初の2乗が0になる所で根号の中は最小、$A$は最大になる

    $${\omega }_{\mathrm{r}}=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\gamma }^2}$$

20. 残る項を手順15に入れて、最大の振れ幅を出す

    $$A_{\max }=\frac{F_0/m}{2\gamma \sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}}$$

手順20の根号$\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$は減衰振動の${\omega }^{\prime }$と同じ値で、$A_{\max }=\frac{F_0/m}{2\gamma {\omega }^{\prime }}$とも書ける。山の位置${\omega }_{\mathrm{r}}$は${\omega }_0$よりわずかに小さく、$\gamma$が${\omega }_0$に比べて小さければ、ほとんど${\omega }_0$と変わらない。$\gamma >\frac{{\omega }_0}{\sqrt{2}}$なら手順19の根号の中が負になり、山はできない。