ブランコはなぜタイミングよくこぐと高く上がるのか

手で押す力の時間変化は、短い山がとびとびに並んだ形だ。フーリエ級数に分けると、この山の列は、一定の力と、周期$T$の正弦波、その2倍、3倍の振動数の正弦波の和になる。$T$が$T_0$に近いとき、ブランコを大きく揺らすのは最初の正弦波だけである。そこで、重心が弧に沿って動いた道のりを$x=L\theta$、質量を$m$、押す力を$F_0\cos \omega t$とおき、揺れ幅が押す角振動数$\omega$でどう変わるかを求める。

1. 引き戻す力は、振り子の周期の記事のとおり$-(mg/L)x$で、ばね定数を$mg/L$としたフックの法則と同じ形になる。空気の抵抗を速さに比例する$-m\gamma \dot{x}$とおくと、運動方程式は

   $$m\ddot{x}=-\frac{mg}{L}x-m\gamma \dot{x}+F_0\cos \omega t$$

2. 両辺を$m$で割り、${\omega }_0=\sqrt{g/L}$とおく。

   $$\ddot{x}+\gamma \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=\frac{F_0}{m}\cos \omega t$$

3. オイラーの公式から、$\cos \omega t$は$e^{i\omega t}$の実部である。右辺を$e^{i\omega t}$に替えた式を複素数$z$について解けば、その実部が$x$になる。

   $$\ddot{z}+\gamma \dot{z}+{\omega }_0^{2}z=\frac{F_0}{m}{e}^{i\omega t},x=\mathrm{Re}z$$

4. $z=\tilde{A}{e}^{i\omega t}$とおくと、時間で1回微分するたびに$i\omega$が掛かるだけになり、微分方程式が掛け算の式に変わる。

   $$\left({\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega \right)\tilde{A}=\frac{F_0}{m}$$

5. 割り算で、複素数の振幅が出る。

   $$\tilde{A}=\frac{F_0/m}{{\omega }_0^2-{\omega }^2+i\gamma \omega }$$

6. 絶対値が揺れ幅になる。これが共振曲線である。

   $$A(\omega )=|\tilde{A}|=\frac{F_0/m}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+(\gamma \omega {)}^2}}$$

7. 偏角は、揺れが力からどれだけ遅れるかを表す。$\tilde{A}=A{e}^{-i\phi }$と書くと

   $$x=A\cos (\omega t-\phi ),\tan \phi =\frac{\gamma \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$$

$\omega ={\omega }_0$では手順6の分母に$\gamma {\omega }_0$だけが残り、揺れ幅は$F_0/(m\gamma {\omega }_0)$になる。同じ力でゆっくり押したときのずれ$F_0/(m{\omega }_0^2)$の、${\omega }_0/\gamma$倍だ。この倍率が$Q$値である。遅れ$\phi$はちょうど90°で、揺れが$\sin {\omega }_{0}t$で変わるとき、速さは$\cos {\omega }_{0}t$で変わる。つまり、力と速さの向きがいつもそろい、手は揺れに仕事をし続ける。

当サイトの模型は、支点から座った人の重心まで2.45 m、$\gamma =0.08{\text{s}}^{-1}$で、$T_0=3.14$ s、$Q=25$。押す山の列の最初の正弦波は$F_0/m=0.158$ m/s²にあたり、手順6の式で揺れ幅を出すと23.0°だった。山の列のまま押し続けたシミュレーションの23.7°と、ほとんど変わらない。

$Q=25$は、間合いの許されるずれも決めている。押す周期が$T_0$から2%、つまり0.06秒ずれただけで、落ち着く揺れ幅は7割ほどに下がった。時計で間合いを計って押すなら、この精度が要る。でも、実際に押す人は戻ってきた座面を見てから押すので、押す周期はひとりでに$T_0$にそろっていくはずだ。

立ちこぎのいちばん簡単な模型では、人を1つの質点とみなし、ロープに沿って支点に近づけたり離したりする。ワシントン大学の講義AMATH 568のノートも、ハーバード大学のBrydeらが2023年に書いた論文も、この形から出発する。支点から重心までの長さを$r(t)$とおく。

1. 立ち上がる力はロープに沿って働くので、支点のまわりに回す力を生まない。角運動量$m{r}^2\dot{\theta }$を変えるのは重力だけである。

   $$\frac{d}{dt}\left(m{r}^2\dot{\theta }\right)=-mgr\sin \theta$$

2. 振れが小さいとして$\sin \theta \approx \theta$とし、微分を展開して$mr$で割る。

   $$r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }+g\theta =0$$

3. $u=r\theta$とおくと、$\ddot{u}=r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }+\ddot{r}\theta$なので、2の式は次の形にまとまる。重心が下へ加速する分$\ddot{r}$だけ、重力が弱まった振り子の式である。

   $$\ddot{u}=-\frac{g-\ddot{r}}{r}u$$

4. 重心は1往復に2回上下する。平均の長さを$L$、上下の幅を$h$として$r=L+\frac{h}{2}\cos 2\Omega t$とおく。$\Omega =2\pi /T$で、$T$はこぐ周期である。$h$が$L$よりずっと小さいとして整理すると、${\omega }_0=\sqrt{g/L}$、$\sigma =2\Omega /{\omega }_0$を使って

   $$\ddot{u}+{\omega }_0^2\left[1+\frac{h}{2L}\left({\sigma }^2-1\right)\cos 2\Omega t\right]u=0$$

5. 係数が周期的に変わるこの形を、マシュー方程式と呼ぶ。講義ノートによると、1次の近似で揺れが時間とともに育ち続けるのは$\sigma =2$、つまり重心が上下する振動数が固有の振動数のちょうど2倍のときで、これがパラメーター共振である。そのときの1次の増え方を指数に直すと、揺れ幅は$e^{st}$の形で増える。

   $$s=\frac{3h}{8L}{\omega }_0$$

6. $u=0$、つまり揺れていないブランコは、4の式のいつまでも0のままの解である。

講義ノートによると、揺れを最も速く育てるには、上がりきった所で長さを伸ばし、真下を通る所で縮めればよい。端でしゃがみ、真下で立つ動きと同じである。ただし、同じノートには、子どもが実際にこぐ動きとは同じではないという断りもある。体のまわりを回る脚の角運動量も効くからだ。

当サイトの模型では、立った人の重心を支点から平均2.15 m、上下の幅$h$を0.3 mとした。$T_0=2.94$ s、手順5の$s$は$0.112{\text{s}}^{-1}$。空気の抵抗があると増え方は$s-\gamma /2$に減り、$\gamma =0.08{\text{s}}^{-1}$では1往復で1.24倍になる。シミュレーションが式を数値で解いて求めた倍率も1.24で、手順5の$s$と合っていた。