野球の変化球はなぜ曲がるのか

投手板から本塁までの距離は、野球規則で決まっている。大リーグ公式サイトの用語集によると、投手板と本塁の後ろの角のあいだは60フィート6インチ。日本野球機構の記録員のコラムは、同じ距離を投手板の前の縁から測り、18.44 mとする。本塁は五角形の板で、捕手の側がとがっている。そのとがった先が後ろの角だ。

もっとも、球がこの18.44 mをすべて飛ぶわけではない。大リーグの用語集によると、投手は投手板に足をかけて投球動作を始めるが、球を放す点は投手板より数フィート本塁に近い。ここでは、イリノイ大学の物理学者アラン・ネイサンが公開している軌道の計算表にならい、本塁の後ろの角から16.76 m、高さ1.83 mで放すことにする¹。曲がりは球が本塁の前の縁を通るときに比べる。前の縁は後ろの角より43 cm投手寄りにあり、球が飛ぶのは16.33 mになる。

空気がなければ、球に働く力は重力だけだ。本塁へ向かう向きを$x$、上向きを$z$として、ニュートンの運動方程式を書く。

1. 力は下向きの重力だけである。

   $$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=0,m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=-mg$$

2. 高さ$z_0$から水平に速さ$v_0$で放すと、2回積分して位置が出る。

   $$x=v_{0}t,z=z_0-\frac{1}{2}g{t}^2$$

3. 1つ目の式の$t=x/v_0$を2つ目に入れると、高さは$x$の二次関数になる。

   $$z=z_0-\frac{g}{2v_0^2}{x}^2$$

時速130 km、つまり秒速36.1 mで水平に放した球は、16.33 mを0.452秒で飛び、本塁までに1.00 m落ちる。

この放物線が、ここからのずれを測る物差しになる。

空気の中では、球は進むほど遅くなる。抗力は速さの2乗に比例し、進む向きと逆に働く。

$\rho$は空気の密度、$A$は球の断面積、$C_D$は抗力係数である。速さが1割変わるだけで、抗力は2割変わる。それでも本塁までの0.5秒足らずなら、減速の割合はほぼ一定とみなしてよい。ケーガンとネイサンが2014年に大リーグの投球の記録から抗力係数を求めたときも、本塁までの加速度を一定とみなしている。

1. 水平の向きだけを考え、減速の大きさを放した瞬間の値$a$で一定とする。

   $$a=\frac{\rho C_{D}A}{2m}{v}_0^2$$

2. 一定の割合で減速しながら距離$d$を進むまでの時間$t$は、次の二次方程式を満たす。

   $$\frac{1}{2}a{t}^2-v_{0}t+d=0$$

3. 解の公式で解くと、根号の前につく符号の違いで2つの解が出る。

   $$t=\frac{v_0\pm \sqrt{v_0^2-2ad}}{a}$$

4. 球が初めて本塁に届くのは、小さいほうの解である。

   $$t=\frac{v_0-\sqrt{v_0^2-2ad}}{a}$$

大きいほうの解は、同じ割合で減速し続けた球がいったん止まり、向きを変えて戻ってきたときに本塁を通る時刻にあたる。抗力は止まった球を押し返さないので、この解に意味はない。

数を入れてみる。回転のない球には、ネイサンが2017年の解析で使った$C_D=0.297$を使う。空気の密度は海面で1.19 kg/m³、球は質量145 g、直径7.38 cmとした²。時速130 kmで放した球の減速は6.8 m/s²で、重力加速度の7割ほどにもなる。手順4から$t$は0.473秒。運動方程式を刻み1ミリ秒で数値計算すると0.472秒で、一定とみなした近似の誤差は1000分の1秒にとどまった。本塁に届くころ、球速は時速120 kmまで落ちている。

真空より0.02秒長く飛ぶ分だけ、球は重力でよけいに落ちる。同じ向きに放すと、空気がある場合は真空の放物線より6 cm低く本塁を通る。空気の抵抗が道筋に与える違いは、この程度にすぎない。

カーブの曲がりは、桁が1つ違う。

粘り気のある空気の流れは、ナビエ・ストークス方程式に従う。縫い目のある球を包む流れを、この方程式から手で解くことはできない。それでも、式の形から、力がどんな数で決まるかは読み取れる。

1. 空気を押し縮めない流体とみなし、球の中心と一緒に動く座標で書く。

   $$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}\right)=-\nabla p+\mu {\nabla }^2\mathbf{u},\nabla \cdot \mathbf{u}=0$$

2. 長さを直径$D$、速さを球速$v$、時間を$D/v$、圧力を$\rho v^2$で割り、単位のない量（*印）に直す。

   $$\frac{\partial {\mathbf{u}}^{\ast }}{\partial t^{\ast }}+({\mathbf{u}}^{\ast }\cdot {\nabla }^{\ast }){\mathbf{u}}^{\ast }=-{\nabla }^{\ast }{p}^{\ast }+\frac{1}{Re}{\nabla }^{\ast 2}{\mathbf{u}}^{\ast },Re=\frac{\rho vD}{\mu }$$

3. 球から遠い所では、空気が球に向かって一様に流れてくる。

   $${\mathbf{u}}^{\ast }\to -\hat{\mathbf{v}}$$

4. 球の表面では、空気が表面と同じ速さで動く。表面の速さを$v$で割ると、回転の割合$S$が出てくる。

   $${\mathbf{u}}^{\ast }=\frac{\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}}{v}=S(\hat{\mathbf{\omega }}\times \hat{\mathbf{r}}),S=\frac{r\omega }{v}$$

5. 方程式にも境界の条件にも、残る数は$Re$と$S$だけになる。球が受ける力を$\frac{1}{2}\rho A{v}^2$で割った係数は、この2つの関数である。

   $$C_D=C_D(Re,S),C_L=C_L(Re,S)$$

縫い目がどちらを向いて回るかも効くので、厳密には回転軸と縫い目の向きにもよる。時速130 kmの球では$Re$は約$1.7\times 10^5$で、ネイサンが2008年に測った範囲（1.1〜2.4×10⁵）に入る。その範囲で$C_L$は$Re$にあまりよらなかったから、$S$だけの関数とみなせる。ネイサンが2017年に大リーグの打球の軌道から決めた式は、次の形をしている³。

マグヌスの力は、回転軸の向き$\hat{\mathbf{\omega }}$と進む向き$\hat{\mathbf{v}}$の外積$\hat{\mathbf{\omega }}\times \hat{\mathbf{v}}$の向きに働く。ネイサンの言い方では、球の前の面が回っていく向きである。重力と抗力を合わせると、記事の頭に掲げた運動方程式になる。

この式も、加速度を一定とみなせば手で解ける。マグヌスの力による加速度は$\frac{\rho C_{L}A}{2m}{v}^2$で、本塁まではおよそ$d/v$の時間がかかる。

意外なことに、球速$v$が消える。速い球ほど力は強いが、本塁までの時間も短くなり、2つが打ち消し合う。ネイサンも2007年のメモで、曲がりは$C_L$に比例し、初速にはよらないはずだと書いている。曲がりは回転の割合$S$と空気の密度$\rho$で決まり、球速が効くのは$S$の中だけだ。

時速130 km、毎分2000回なら、$S=0.214$、$C_L=0.221$になる。海面の空気で$\rho A{d}^2/(4m)$は2.34 mなので、$\Delta$は約52 cmだ。回転で大きくなった$C_D=0.355$で、二次方程式の手順4から時間を出し直すと0.478秒になる。$d/v$の代わりにこの時間を使うと58 cmだ。本当の値は、この2つのあいだに来るだろう。