電子レンジで温めるとなぜむらができるのか

横$L_x$、奥行き$L_y$、高さ$L_z$の金属の箱を考える。箱の中で決まった模様のまま振動する電磁波の形を、モードと呼ぶ。ワシントン州立大学のシュー・ジョウとジュミン・タンらが2023年の論文で使った解き方に沿って、モードが1つだけ立っているときの熱い点の間隔を求める。

1. 壁に沿う電場は両側の壁で0になる。電場の各成分は$x$の向きに$\sin (k_{x}x)$か$\cos (k_{x}x)$の形で変わり、$k_x$は$\pi /L_x$の整数倍に限られる。ほかの向きも同じである。

   $$k_x=\frac{l\pi }{L_x},k_y=\frac{m\pi }{L_y},k_z=\frac{n\pi }{L_z}$$

2. 真空の電場はマクスウェル方程式から導かれる波動方程式を満たす。

   $${\nabla }^2\mathbf{E}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$$

3. 周波数$f$で振動するモードを入れると、3つの波数を2乗して足した値が決まる。

   $$k_x^2+k_y^2+k_z^2={\left(\frac{2\pi f}{c}\right)}^2$$

4. 手順1を代入して$f$について解くと、箱が共振する周波数になる。

   $$f=\frac{c}{2}\sqrt{{\left(\frac{l}{L_x}\right)}^2+{\left(\frac{m}{L_y}\right)}^2+{\left(\frac{n}{L_z}\right)}^2}$$

5. 温まる速さは電場の2乗で決まり、${\sin }^2$と${\cos }^2$の周期はどちらも$\pi /k_x$である。$x$の向きに並ぶ熱い点の間隔は次のようになる。

   $$d_x=\frac{\pi }{k_x}=\frac{L_x}{l}$$

6. 手順4の両辺を2乗し、波長$\lambda =c/f$と、$1/d_x=l/L_x$などを入れる。

   $$\frac{1}{d_x^2}+\frac{1}{d_y^2}+\frac{1}{d_z^2}=\frac{4}{{\lambda }^2}$$

7. 左辺の2つ目と3つ目の項は0以上なので、$x$の向きの間隔は半波長を下回らない。

   $$d_x\ge \frac{\lambda }{2}$$

等号が成り立つのは、モードが$y$と$z$の向きにまったく変わらないときだけである。ところが、ジョウらの論文が挙げる条件によると、箱の中に立つモードは、3つの番号$l$、$m$、$n$のうち2つ以上が0でない。

1つのモードだけが立つ庫内では、壁に沿って置いたチョコの点の間隔は、いつも半波長より長い。

その間隔を2倍して周波数を掛けると、光の速さは本当の値より大きく出る。意外なのは、ずれる向きが大きいほうに決まっていることだ。

数で見ておく。横40 cm、奥行き30 cmの箱で、高さの向きに変わらない$n=0$のモードを探すと、2.45 GHzにいちばん近いのは$(l,m)=(6,2)$で、手順4から2.461 GHzになる。熱い点は横に$40/6=6.67$ cm、奥行きに$30/2=15$ cmの間隔で並ぶ。手順6の左辺は$1/6.67^2+1/15^2=0.0269$で、2.461 GHzの波長12.18 cmで作った右辺の$4/12.18^2$と一致する。

もっとも、家庭の電子レンジで立つモードは1つではない。ジョウらが論文で引く例では、2450 MHzと表示された家庭用のマグネトロンが2425〜2475 MHzの電磁波を出す。この幅の中では、庫内にいくつもの定在波ができることがあるという。筆者が手順4で数えると、横40 cm、奥行き30 cm、高さ25 cmの箱では、この50 MHzの幅に番号の組が8通り入った。電場の向きが違うものを別に数えると、共振するモードは13個になる。

電子レンジの周波数は水分子の共振に合わせてある、という説明を聞いたことはないだろうか。これは正しくない。ウェストテキサスA&M大学の物理学者クリストファー・ベアードは解説の記事で、電子レンジの電磁波は、水が共振する周波数に合わせていないと書き、この説明を俗説と呼ぶ本の一節も引いている。

水が電磁波を吸う仕組みは、共振ではなく緩和である。イサドアらの説明では、物質の中の電気双極子が変化する電場の向きにそろおうとし、その動きのエネルギーが粘性によって周りへ熱として散る。水の分子も、この双極子を持つ。ダニエル・エルトンが2017年に過去の研究を検討した論文によると、この吸収はデバイ緩和と呼ばれ、山の頂上は約20 GHzにあって、周波数の6桁にわたる幅の広い山になっている。どんな分子の動きがこの山を生むのかについては、研究者の見方がそろっていないという。

1. 水の比誘電率を複素数で書くと、デバイの式になる。${\epsilon }_s$は低い周波数での値、${\epsilon }_{\infty }$は分子の向きが追いつかない高い周波数での値、$\tau$は緩和時間である。

   $$\epsilon (\omega )={\epsilon }_{\infty }+\frac{{\epsilon }_s-{\epsilon }_{\infty }}{1+i\omega \tau }$$

2. 比誘電率を${\epsilon }^{\prime }-i{\epsilon }^{\prime \prime }$と書き、熱に変わる分を表す${\epsilon }^{\prime \prime }$を取り出すと、損失係数になる。

   $${\epsilon }^{\prime \prime }(\omega )=\frac{({\epsilon }_s-{\epsilon }_{\infty })\omega \tau }{1+(\omega \tau {)}^2}$$

3. ${\epsilon }^{\prime \prime }$がいちばん大きくなるのは$\omega \tau =1$のときで、$\tau =8.3$ psなら次の周波数になる。

   $$f=\frac{1}{2\pi \tau }\approx 19\text{GHz}$$

4. 2.45 GHzでは$\omega \tau$が小さく、山の裾に当たる。

   $$\omega \tau =2\pi \times 2.45\times 10^9\times 8.3\times 10^{-12}\approx 0.128$$

5. 平面波が水の中を進むとき、電力が$1/e$に減るまでに進む深さ$D$は、比誘電率の実部${\epsilon }^{\prime }$と虚部${\epsilon }^{\prime \prime }$から出せる。

   $$D=\frac{c}{2\omega }\sqrt{\frac{2}{{\epsilon }^{\prime }}}{\left(\sqrt{1+{\left(\frac{{\epsilon }^{\prime \prime }}{{\epsilon }^{\prime }}\right)}^2}-1\right)}^{-1/2}$$

手順3の19 GHzは、エルトンが挙げる山の頂上、約20 GHzとほぼ合う。英国立物理学研究所（NPL）の2012年の報告では、25 °Cの水の静的な比誘電率は78.55である。エルトンの論文が並べた25 °Cの測定では、緩和時間はおよそ8.3 ps、デバイ緩和の強さ${\epsilon }_s-{\epsilon }_{\infty }$はおよそ73。これらを使って筆者が純水について計算すると、2.45 GHzでは${\epsilon }^{\prime }\approx 77.4$、${\epsilon }^{\prime \prime }\approx 9.2$で、$D$は約1.9 cmになった。損失係数がいちばん大きい19 GHz付近では、$D$は約0.5 mmしかない。

山の頂上の周波数を使えば、電磁波は表面の0.5 mmほどで吸われて、中まで届かない。2.45 GHzは吸われ方が弱い分、1.9 cm進んでも電力の37%が残る。イサドアらの論文にも、2.45 GHzでは水がまだよく電力を吸うとある。食品の値は塩分などの成分で変わるので、ここでの数字は純水の目安である。

2.45 GHzという値そのものは、電波の決まりから来ている。国際電気通信連合（ITU）の無線通信規則の脚注5.150は、2400〜2500 MHzを、中心周波数2450 MHzの産業・科学・医療用（ISM）の帯域に指定している。この帯域の無線通信はこうした機器が出す混信を受け入れなければならない。日本の電波法施行規則でも、電子レンジの型式確認では、占有周波数帯幅に含まれる周波数が2,450 MHz±50 MHzの範囲に収まることが最初の条件になっている。アメリカの規則には915 MHz±13 MHzの枠もあり、ジョウらによると、食品を工業的に殺菌する装置では、915 MHzで1つのモードだけを立てる方式が使われている。

光子1個のエネルギーも見ておく。光のエネルギーの記事で計算したとおり、2.45 GHzの光子は約$1.0\times 10^{-5}$ eVで、25 °Cの分子が熱運動で持つエネルギーの目安$kT\approx 0.026$ eVの約2,500分の1しかない。

光子1個で分子の結合が切れることはない。仮に出力が1,000 Wなら、1秒に約$6\times 10^{26}$個の光子が出ている。電子レンジはその膨大な数の光子が作る振動する電場で、分子の向きを揺さぶっている。