素数ゼミはなぜ13年と17年ごとに大発生するのか

セミの周期を$c$年、天敵の周期を$p$年とし、0年目に両方が出たとする。セミが出るのは$c$の倍数の年、天敵が出るのは$p$の倍数の年である。

1. 両方が出る年は、$c$と$p$の公倍数の年である。公倍数は最小公倍数の倍数なので、重なりは最小公倍数ごとに来る。

   $$t=k\mathrm{lcm}(c,p)(k=1,2,3,\dots )$$

2. $N$年のあいだに重なる回数は、$N$を最小公倍数で割った商の整数部分になる。

   $$n=\lfloor \frac{N}{\mathrm{lcm}(c,p)}\rfloor$$

3. 最小公倍数と最大公約数を掛けると、2つの数の積になる。

   $$\mathrm{lcm}(c,p)\gcd (c,p)=cp$$

4. 最小公倍数の年数のあいだに、セミは$\mathrm{lcm}(c,p)/c$回出て、そのうち1回だけ天敵と会う。1回の発生で天敵に会う割合は、3を使うと最大公約数で書ける。

   $$\frac{c}{\mathrm{lcm}(c,p)}=\frac{\gcd (c,p)}{p}$$

5. 最大公約数は1以上なので、割合は$1/p$より小さくならない。$1/p$になるのは、$c$と$p$が1のほかに公約数を持たない、つまり互いに素なときだけである。

   $$\frac{\gcd (c,p)}{p}\ge \frac{1}{p}$$

6. $c$が素数なら、$c$より小さいどんな$p$とも互いに素である。

   $$\gcd (c,p)=1(p<c)$$

7. 素数でない$c$は$c=ab$（$2\le a\le b$）と書け、小さいほうの約数$a$は$\sqrt{c}$を超えない。$c\le 20$なら$a$は4以下なので、$c$は2か3で割り切れる。

   $$a\le \sqrt{c}\le \sqrt{20}<5$$

7により、10年から20年までの周期で、2年から9年までのどの天敵とも互いに素なのは、11、13、17、19の素数だけになる。天敵が2年から9年の8種いて、どれも0年目にそろって出たとしよう。4の割合を8種について足すと、1回の発生で出会う天敵の数の平均になる。筆者がPythonで数えると、12年なら5.18種、18年なら5.09種、15年なら3.85種だった。いちばん少ないのは素数の周期で、どれも$1/2+1/3+\cdots +1/9\approx 1.83$種。

意外なのは、この物差しでは11年と19年も、13年や17年と同じ点になることだ。素数であることだけでは、13と17は選べない。

0年目にそろえたことにも意味がある。天敵の出始めを$s$年ずらすと、重なるのは$t\equiv 0(\mathrm{mod}c)$と$t\equiv s(\mathrm{mod}p)$を同時に満たす年になる。$c$と$p$が互いに素なら、$s$がいくつでも、最小公倍数の年数に1度だけ重なる。互いに素でないときは、$s$が最大公約数で割り切れれば1回の発生あたり$\gcd (c,p)/p$の割合で重なり、割り切れなければ1度も重ならない。$s$を0から$p-1$までの$p$通りで平均すると、互いに素かどうかによらず、割合は$1/p$になる。素数の周期が得をするのは、天敵が出る年をセミに合わせられるときなのである。

天敵と獲物の数の増減を式にしたのがロトカ・ヴォルテラ方程式で、出会う回数を両方の数の積$xy$に比例するとおく。2001年、チリの数理モデリングセンターのエリック・ゴレスと、ドイツのマックス・プランク分子生理学研究所のオリヴァー・シュルツ、マリオ・マルクスは、『Complexity』に別の模型を発表した。数の代わりに、「同じ年に出たかどうか」に点を付ける。

翌年に3人が『ScienceAsia』に載せた論文によると、決まりは次のとおりである。天敵の周期を$X$、獲物の周期を$Y$とし、$1<X<Y$で、どちらも0年目にそろって出るとする。獲物は天敵のいない年に出れば$+1$、天敵と同じ年に出れば$-1$を得る。天敵は獲物と同じ年に出れば$+1$、獲物のいない年に出れば$-1$を得る。

1. $XY$年のあいだに、獲物は$X$回、天敵は$Y$回出る。両方が出る回数を$g$とおくと、前の章の3から最大公約数になる。

   $$g=\frac{XY}{\mathrm{lcm}(X,Y)}=\gcd (X,Y)$$

2. 獲物の点の合計を、出た回数$X$で割る。世代の数で割るのは、何度も出て点を稼ぐ短い周期をひいきしないためである。

   $$F_y=\frac{(X-g)-g}{X}=1-\frac{2g}{X}$$

3. 天敵も同じように数える。

   $$F_x=\frac{g-(Y-g)}{Y}=\frac{2g}{Y}-1$$

4. $Y$が素数でないとき、天敵は$Y$の約数のうち$Y$自身を除いて最大のものを周期に選べば、点がいちばん高い。このとき$g=X$で、獲物は出るたびに天敵と会う。

   $$F_y=1-\frac{2X}{X}=-1$$

5. 獲物の周期が1年ずれると、$X$は$Y\pm 1$を割り切れないので最大公約数は$X$より小さくなり、獲物の点は$-1$より上がる。

   $$\gcd (X,Y\pm 1)<X\Rightarrow F_y>-1$$

6. $Y$が素数なら、$X<Y$のどの天敵とも$g=1$である。天敵は周期を変えても点を上げられず、獲物も周期を変えて点を上げることはできない。

   $$g=1\Rightarrow F_y=1-\frac{2}{X}$$

変異と選択をくり返すと、獲物の周期は素数にたどり着いたところで止まる。論文には、生き物ではありえない大きさの変異まで許して、$X=4$、$Y=12$から始め、$Y=2^{31}-1$で止まった例が載っている。

3人は、10×10のマスに天敵と獲物を並べ、隣のマスのうち点の高い周期が広がる計算も試した。周期を2〜50年からでたらめに選んで1万通り始めると、残った獲物の周期は素数に偏り、いちばん多いのは17年だった。マスを20×20にすると、13年がいちばん多くなる。しかし3人は考察で、「この仮説の弱点は、周期ゼミに関わる周期的な天敵が、まだ見つかっていないことだ」と認めている。

ロトカ・ヴォルテラ方程式では、獲物1匹が食べられる速さは$\beta y$で、獲物の数$x$によらない。大発生で天敵を満腹にさせる飽食は、この式の外にある。