鳥や魚の群れはなぜぶつからずにそろって動くのか

1987年、シンボリックス社のグラフィックス部門にいたクレイグ・レイノルズは、群れの動きを計算で作る論文を発表した。冒頭でレイノルズは、群れのいちばん不思議な点を「意図をもって中央から操っているような強い印象」だと書いている。そのうえで、群れの動きは1羽ずつの行動を合わせた結果にすぎず、どの鳥も自分のまわりの見え方だけで動いているはずだと考えた。

レイノルズは、1986年に作った模型の鳥をボイドと名づけ、3つの規則を与えた。優先する順に、近くの仲間とぶつからないよう避ける、近くの仲間と速度を合わせる、近くの仲間のそばにいようとする、である。後の解説では、これを分離・整列・結合と呼んでいる。「近く」は、自分からの距離と、進む向きからの角度で決める。

近くだけを見るのには理由がある。鳥の群れは、何羽加わっても満員にならない。群れに加わるために1羽が考える量は、群れの大きさによらないはずだ、とレイノルズはみた。

先頭の鳥についていく模型では、障害物の前で群れが2つに分かれられない。近くの仲間の中心に寄る規則なら、群れは障害物の前で割れ、小さな群れどうしはまた合わさる。

魚の群れでは、レイノルズより5年早い研究がある。東京大学海洋研究所の青木一郎は1982年、日本水産学会誌に、1匹ずつの泳ぐ速さと向きを乱数で決め、その向きが近くの仲間の位置と向きで決まる模型を発表した。仲間に近づく、避ける、向きをそろえるの3つのふるまいを入れている。1匹が群れ全体の動きを知らず、決まったリーダーもいないのに、群れはまとまって泳いだ。青木は、群れになるには、集まるための接近と、まとまって進むための平行な向きの2つが要ると結論している。

見本の「一方向」では、200羽はほぼ1つの群れになり、$r$は0.98前後を保つ。ここからゆらぎ$\eta$だけを上げてみた。ばらばらから60秒動かし、後半20秒の平均を10回ずつとると、$r$は$\eta =0.5$で0.92、0.6で0.80、0.7で0.54、0.8で0.22、1.0で0.11だった。

0.6から0.8へ、わずか0.2 radのあいだに、$r$は3分の1より小さくなる。

群れの数も、1つから11ほどの小さなかたまりにほどける。ほどける位置を決めているのは、そろえる力とゆらぎの比べ合いだ。そろえる力が1段で直すのは、平均速度とのずれの$k_a\Delta t=1/15$ほどにすぎない。「そろえる」を3にすると、$r$は$\eta =1.0$でも0.54を保ち、1.25で0.19まで下がった。

1995年、ブダペストのエトヴェシュ大学のタマーシュ・ヴィチェックらは、テルアビブ大学の研究者とともに、規則を「そろえる」1つだけに絞った模型を発表した。粒は一定の速さで進み、1段ごとに、半径1の円に入る仲間の向きを平均して、そこに幅$\eta$の一様な乱数を足す。離れる力も寄る力もないのに、ゆらぎを小さくしていくと、でたらめに動く状態から、全体が1つの向きに流れる状態へ移った。最大1万個の粒で計算し、密度0.4のとき、移り変わるゆらぎを${\eta }_c=2.9\pm 0.05$、その手前で$v_a\propto ({\eta }_c-\eta {)}^{\beta }$となる指数を$\beta =0.45\pm 0.07$と見積もっている。ヴィチェックらは、ゆらぎを磁石の温度に、そろえる規則を、隣り合うスピンの向きをそろえる相互作用にたとえている。

しかし2004年、ギヨーム・グレゴワールとユーグ・シャテは、この結論に異を唱えた。2次元ではこの移り変わりがいつも不連続で、ヴィチェックらの最小の模型でも同じだという。$r$は0から連続に立ち上がるのではなく、ある所で跳ぶ。

急にそろう点は、ホタルとメトロノームはなぜそろうのかの蔵本モデルとよく似ていて、$r$の式の形も同じである。違うのは、鳥が動くので、近くにいる相手が刻々と入れ替わることだ。

ローマの写真から、バッレリーニらは、1羽から見ていちばん近い鳥、2番目に近い鳥……が、どの方向にいるかを調べた。いちばん近い鳥は、進む向きの前と後ろには少ない。この偏りは、近い順に6番目から7番目のあたりで消える。偏りが消える順位$n_c$を群れごとに求めると、10の群れの平均は$6.5\pm 0.9$だった。

決め手は、群れによって密度が違うことだった。隣の鳥までの距離の平均は、いちばん密な群れで0.68 m、いちばんまばらな群れで1.51 mある。同じ半径の中に入る鳥は、密な群れで10羽、まばらな群れで1羽と大きく変わる。鳥が決まった距離の中の仲間を相手にしているなら、$n_c$は密度で変わるはずだ。ところが$n_c$はほぼ一定で、変わったのは$n_c$番目の鳥までの距離のほうだった。

ホシムクドリは、距離ではなく、近い順の数で相手を選んでいる。

なぜ6〜7羽なのか。著者らは、決まった数の相手を同時に追う力の限りではないかと考えている。訓練したハトは7個より少ない物の数なら見分けられる、という実験と数が近い。2次元で調べた魚の群れでは、この限りは3〜5匹と見積もられている。

著者らの考えでは、数で選ぶ鳥は、天敵が来て群れがまばらになっても、同じだけの仲間とつながり続ける。距離で選ぶ鳥は、仲間が半径の外へ出たとたんに相手を失う。著者らが2次元の計算で200羽の群れを天敵にぶつけると、距離で選ぶ場合は割れたかたまりの43%が1羽だけのはぐれで、数で選ぶ場合は5%にとどまった。

このページのシミュレーションは、レイノルズやヴィチェックと同じく距離で選ぶ。見本の「一方向」で40秒動かしてから群れの中ほどをたたく試しを60回くり返すと、6秒後には平均で2〜3つの群れと2羽ほどのはぐれに分かれ、20秒後にはほぼ1つの群れに戻った。読み出しの「群れ」は、距離5より近い鳥どうしをつないでできるかたまりの数で、1羽だけのかたまりを「はぐれ」と数えている。はぐれた鳥を群れへ引き戻す力が届くのは、半径16の中にまだ仲間がいるあいだだけである。

見本の「渦」は、鳥を輪の形に並べ、輪に沿った向きから始める。読み出しの「回転のそろい」$m$は、全員が群れの重心のまわりを同じ向きに回っていれば1になる量である。離れる0.5、そろえる0.2、寄る3、ゆらぎ0.1のつまみでは、3秒ほどで$m$が0.95前後になり、1分たっても0.99のまま回り続けた。渦の中では隣どうしがすでに同じ向きに飛んでいるので、「そろえる」を1や3に上げても、20秒のあいだ$m$は0.9以上を保つ。渦がほどけたのは、寄るを1に下げたとき、離れるを1.5に上げたとき、ゆらぎを0.6に上げたときだった。

逆に、一方向に飛んでいる群れのまま、つまみだけを渦と同じ値に動かしても、渦にはならない。5回試しても、40秒後の$r$は0.99を超え、群れは一方向に飛び続けた。

同じ規則と同じつまみでも、それまでの形によって行き着く形が違う。

2002年、イアン・クーザンらは、魚や鳥の群れを3次元で表す模型で、1匹ずつの相互作用をわずかに変えるだけで群れ全体の振る舞いが大きく切り替わることを示した。そのとき現れる形が、それまでに群れがとってきた形に左右されることも見つけ、集団記憶と呼んでいる。規則の細部は違うが、渦から始めれば渦が、一方向から始めれば一方向が続くこのシミュレーションの振る舞いも、同じ種類のものとみてよい。