雪の結晶はなぜ六角形に枝分かれするのか

雪の結晶は、雨粒が凍ったものではない。空気中の水蒸気が、液体の水を通らずに直接氷になって育つ。ふつうの氷(氷 Ih)は六方晶で、酸素の原子をたどると、しわの寄った六角形の網が層になって重なっている。邪魔されずに育てば六角柱になり、上下の 2 面を底面、まわりの 6 面を柱面という。10〜100 µm ほどの小さな雪の結晶は、実際にこの形のことが多い。

平らな面ができるのは、分子の付きやすさが場所によって違うからである。カリフォルニア工科大学の物理学者ケネス・リブレクトの説明では、水の分子は、空いた結合手が多いでこぼこした所にはよく付き、滑らかな所には付きにくい。でこぼこはすぐに埋まり、滑らかな面だけが残る。6 つの柱面が 60° ずつ向きを変えて並ぶのは、分子の網が六角形だからである。

この付きやすさは、凝結係数 $\alpha$ という 1 つの数で表す。ぶつかった分子がすぐに氷に取りこまれるなら $\alpha =1$ で、平らな面が見えている結晶では、その面の $\alpha$ は 1 より小さい。

水蒸気の分子は、空気の分子と何度もぶつかりながら、でたらめな向きに進む。ブラウン運動の粒と同じ酔歩で、広がりは時間の平方根でしか増えない。リブレクトの総説によると、1 気圧の空気中で、水蒸気の拡散係数は約 $2\times 10^{-5}$ m²/s である。分子は 1 秒でおよそ 1.1 cm 広がり、大きさ 1 mm ほどの結晶のまわりなら、濃さのむらは 0.05 秒ほどでならされる。枝の先は 1 秒に数 µm しか伸びないので、拡散から見れば結晶はほとんど止まっている。

結晶が水蒸気を取りこむと、まわりの水蒸気は薄くなり、遠くから拡散で補われる。六角板の角は辺の中ほどより外へ突き出しているので、少し多く水蒸気が届く。多く届けば少し速く育ち、さらに突き出して、さらに多く届く。リブレクトは、この正のフィードバックが枝を生むと説明している。この不安定性は拡散律速の成長ではどこにでも現れ、マリンズ・セケルカ不安定性と呼ばれる。1964 年にウィリアム・マリンズとロバート・セケルカが、合金の凝固で平らな境目が崩れる条件を調べた論文にちなむ名前である。

中谷も、速く育つ結晶ほど枝分かれすることを測っていた。『雪』では、人工雪の平均の生長速度が、羊歯状で 1 時間に 4.6 mm(1 秒に約 1.3 µm)、扇形と角板で 0.66 mm と、約 7 倍違う。

それでも、小さな結晶はすぐには枝を出さない。拡散方程式を解くと、柱面のすぐ上の過飽和度(水蒸気が飽和をどれだけ超えているか)は、面の端で高く、中ほどで低い。それでも面が平らなまま育つのは、中ほどがごくわずかにくぼんで分子の段差が増え、$\alpha$ が上がるからである。少ない水蒸気でも、端と同じ速さで育つ。結晶が大きくなり、この埋め合わせが限界に来ると、角から枝が出る。

表面張力だけで形が決まるなら、氷は丸くなろうとする。等周不等式によれば、平面で周の長さ $L$ の図形が囲む面積 $A$ は $L^2\ge 4\pi A$ を満たし、等号は円のときだけ成り立つ。3 次元では、表面積 $S$ と体積 $V$ について次が成り立ち、等号は球のときだけである。

表面のエネルギーは表面積に比例するので、同じ量の氷なら、球に近いほどエネルギーが低い。リブレクトは、氷の表面エネルギーは向きによる差が小さいと見込まれるので、釣り合いの形はほとんど球になるはずだとしている。ただし、はっきり観察されたことはないという。

雪の結晶は、この形からどれだけ離れているか。角から角まで 2 mm、厚さ 0.1 mm の六角板で計算する(直径と厚さの比 20 は、リブレクトの計算例と同じ)。体積は約 0.26 mm³、表面積は約 5.8 mm² で、同じ体積の球の表面積約 2.0 mm² の約 2.9 倍になる。$S^3/(36\pi V^2)$ は、球なら 1、この板では約 25 である。板を薄くすると値はすぐに大きくなり、厚さ 0.02 mm なら約 490 になる。枝の多い樹枝なら、さらに大きい。

それでも丸くならないのは、時間が足りないからである。リブレクトは、融点の近くで、回転楕円体の結晶が球に戻るまでの時間をおよそ $200\times (R/10\mu \mathrm{m}{)}^2$ 秒と見積もった。半径 1 mm なら $2\times 10^6$ 秒、およそ 23 日である。リブレクトの実験室では、結晶が 16 分で角から角まで 2 mm に育った。形が整うより先に、次の層が積もっていく。

よく語られる「拡散が先を伸ばし、表面張力が丸める」という綱引きも、雪では見直しがいる。リブレクトによると、水蒸気から育つ雪の樹枝では、先の速さと太さを決めるのは主に 5 の式の付着、つまり分子が氷に取りこまれる速さの限りで、表面張力の効果はふつう無視できるほど小さい。融液から固まる樹枝とは逆である。等周不等式は、雪が釣り合いの形からどれほど遠い「成長の形」なのかを測るものさしとして読むのがよい。

6 本の枝のあいだに、育ちをそろえる仕組みはあるのか。リブレクトの答えは「何もない」である。6 本はそれぞれ別々に育つ。ただ、雲の中を落ちていく結晶は、温度と湿度が刻々と変わる空気を通り、6 本の枝はその変化を同じときに同じだけ受ける。だから、何も伝え合わなくても同じように形を変える。リブレクトはこれを、雨の日に誰もが相談せずに傘を持って出かけることに例えている。

リブレクトは実験室で、小さな種の結晶を 2 つ並べ、同じように変わる条件で育てた。16 分後、角から角まで 2.0 mm になった 2 つは、ほぼ同じ形をしていた。同じページには、6 本の枝がそれぞれ違う条件を受ければ違う形に育つ、ともある。きれいな六花はめったになく、リブレクトは写真を 1 枚撮るまでに、集めた板の上の何千もの結晶に目を通すという。

シミュレーションでも同じことが起きる。$\beta =0.40$、$\gamma =0.0001$ では、1270 段で 6 本とも 60 マスに届く。「右ほど湿る」では、端に届いたときの長さが、右から左回りに 60・49・37・33・37・49 マスになり、湿った側の枝ほど長い。「角板から樹枝へ」では、角板の 6 つの角から同時に枝が出る。6 本の枝には、結晶が通ってきた空気の記録が、どれにも同じように書きこまれる。

ホタルとメトロノームはなぜそろうのかの蔵本モデルでは、振動子が互いに引き合ってそろった。雪の枝は、何も伝え合わずに、同じ外の変化を受けてそろう。

拡散はふつう、濃さのむらをならす。それなのに雪では、拡散が枝を生む。拡散から模様が生まれる例として名高いのはチューリングパターンだが、2 つは仕組みが違う。

チューリングの模様には、反応しながら違う速さで広がる 2 種類の物質がいる。一様な状態そのものが不安定になり、反応の速さと拡散の速さで決まる間隔の斑点や縞が、平らな場所のどこにでも現れる。間隔は組織の大きさによらない。

雪の枝に要る物質は水蒸気 1 種類で、反応もない。ラプラス方程式にしたがう濃さの場はなめらかで安定で、不安定なのは、水蒸気を取りこみながら進む氷の境目のほうである。突き出た所ほど多く受け取るという、境目の形と拡散の組み合わせが枝を伸ばす。また雪では、一度凍ったマスはもう動かない。シミュレーションで $\gamma$ を途中で変えても、それまでの角板や枝は残り、外側にだけ新しい形が積み重なる。