円周率が出てくる公式と、その理由

アルキメデスの方法では、多角形の辺の数を倍にするたびに平方根を計算する。この方法で桁を延ばす競争は長く続いた。ベイリーらが 1997 年の解説「π の探求」に載せた表では、1429 年にサマルカンドのアル・カーシーが 14 桁、1615 年にファン・ケーレンが 35 桁に達している。それでも、方法そのものは古代から変わらなかった。

やがて、π を無限の和で表す式が現れる。$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$ に $x=1$ を入れると、次の式になる。

この級数は、南インドのケーララの天文学者マーダヴァ(14〜15 世紀)が得ていたとされる。本人の数学の著作は残っておらず、後の学者の書物で伝わる。ヨーロッパでは、1671 年にジェームズ・グレゴリーが $\arctan x$ の級数を手紙に書いた(テイラー展開)。MacTutor の記事では、この式を劇的で驚くべき式と評している。右辺は奇数の逆数を足し引きするだけの算術の式なのに、π はもともと幾何学から生まれた数だからである。

π が入る理由は、左辺の $\arctan 1$ にある。$\arctan 1$ は、傾き 1 の直線が $x$ 軸となす角、つまり 45° をラジアンで表した値である。ラジアンは、半径 1 の円の弧の長さで角を測る単位で、半周の 180° が π にあたる。この級数で求めているのは角の大きさなので、答えに円の弧が出てくる。

ただし、この級数はとても遅い。1000 項足して 4 倍しても 3.1405… で、小数第 3 位で外れる。速くするには、$x$ に小さい数を入れればよい。アイザック・ニュートンは、逆正弦の級数と同じ型の式で π を計算し、15 桁を発表した。のちに、ほかに用事がなかったので何桁まで計算を続けたかは恥ずかしくて言えない、と打ち明けている(ベイリーらの解説)。1706 年には、ジョン・マチンが次の式で 100 桁を計算した。

$x=1/5$ の級数は、1 項進むごとに項がおよそ 25 分の 1 になり、正しい桁が約 1.4 桁ずつ増える。70 項ほどで 100 桁に届く計算である。同じ 1706 年に出たウィリアム・ジョーンズの数学の入門書には、マチンのこの級数を紹介する一節があり、「= π」で結ばれている(MacTutor のマチンの伝記)。円周率を π の 1 字で表した最初の本として知られる一冊である(ギリシャ文字の読み方)。マチンの型の式は 19 世紀の手計算でも使われ、1873 年にシャンクスが 707 桁を発表した。528 桁目から先が誤っていたことは、のちに分かった。

バーゼル問題の和 $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$ には、角度も見えない。1735 年、オイラーは $\frac{\sin x}{x}$ を、0 になる点 $x=\pm \pi ,\pm 2\pi ,\dots$ を使って $\left(1-\frac{x^2}{{\pi }^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2}\right)\cdots$ と積に分け、$x^2$ の係数を展開 $1-\frac{x^2}{6}+\cdots$ と比べた。π は、正弦が 0 になる間隔として入る。角が半周するたびに、正弦は 0 に戻るからである。1000 項までの和は 1.6439… で、6 倍して平方根をとると 3.1406… になる。

オイラーの等式 $e^{i\pi }+1=0$ は、角度と π の関係を 1 行で表した式と読める。$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ は、複素平面の単位円の上を角 $\theta$ だけ回った点を表す。$\theta =\pi /2$ で $i$、$\theta =\pi$ で $-1$ に着き、$\theta =2\pi$ で 1 周して 1 に戻る。

最初のばねに戻る。ばねのおもりの位置は、$\omega =\sqrt{k/m}$ として $x=A\cos \omega t$ と書ける。半径 $A$ の円の上を角速度 $\omega$ で一定の速さで回る点を考え、真横から光を当てて、直径の上に影を落とす。影の位置もちょうど $A\cos \omega t$ で、ばねのおもりと同じ動きをする。おもりが 1 往復する間に円の上の点は 1 周し、角 $\omega t$ が $2\pi$ だけ進むので、周期は $T=2\pi /\omega$ になる(運動方程式から出す手順はフックの法則の証明の章)。微分の公式 $(\cos \theta {)}^{\prime }=-\sin \theta$ は角をラジアンで測ったときに成り立つので、運動方程式を解くと、角はラジアンで現れる。円はおもりの通り道ではなく、角 $\omega t$ の中に隠れている。

振り子の周期の $2\pi$ も、同じ角から来る。振れが小さいとき、振り子の運動方程式はばねと同じ形になり、$\omega =\sqrt{g/L}$ とおけば $T=2\pi /\omega$ である(振り子の周期)。1673 年、クリスティアーン・ホイヘンスは『振り子時計』で、小さな振れの片道にかかる時間と、振り子の長さの半分の高さから物が落ちる時間の比が、円周と直径の比に等しいことを明らかにした。ホイヘンスは π を、時間の比として見つけていたことになる。

ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ では、円は計算の途中で現れる。値を $I$ とおいて $I^2$ を $x$ と $y$ の 2 重積分に書くと、指数は $-(x^2+y^2)=-r^2$ になり、原点からの距離 $r$ だけで決まる。平面の上でどの向きに回しても変わらない山である。極座標に移ると、$r$ の積分は $\frac{1}{2}$、角 $\theta$ の積分は 1 周分の $2\pi$ で、$I^2=\pi$ が出る。この積分の値をはっきり求めて示したのは、1774 年のラプラスの論文が最初とされる。

正規分布の式の $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$ は、曲線の下の面積を 1 にそろえる係数である。平均 0、標準偏差 1 の正規分布では、山の頂の高さは $1/\sqrt{2\pi }\approx 0.399$ になる。正規分布の π は、確率そのものから来るのではなく、この係数を決めるガウス積分から来る。

ビュフォンの針の確率 $P=\frac{2l}{\pi d}$($l$ は針の長さ、$d$ は線の間隔)では、π は針の向きから入る。針と線のなす角 $\theta$ は、0 から $\pi /2$ のどこにでも同じ確からしさで散らばる。角の幅をラジアンで測った $\pi /2$ で割ることになるので、確率の分母に π が残る。1860 年のジョゼフ＝エミール・バルビエの考え方を使うと、隠れた円がもっとはっきり見える。直径 $d$ の円の形に曲げた針は、どう落としても線とちょうど 2 回交わる。交わる回数の平均は針の長さに比例するので、長さ $\pi d$ の円の針で 2 回なら、長さ $l$ のまっすぐな針では $2l/(\pi d)$ 回になる。$l\le d$ の針は 2 回以上交わらないので、この平均がそのまま交わる確率になる。

8 次元の球の詰め込みの ${\pi }^4/384$ は、8 次元の球の体積から来る。半径 1 の $d$ 次元の球の体積を $V_d$ とする。最後の 2 つの座標を固定した断面は $d-2$ 次元の球で、その体積を 2 つの座標の平面で極座標を使って足し合わせると、角の積分から $2\pi$ が出て $V_d=\frac{2\pi }{d}{V}_{d-2}$ になる。円の面積 $V_2=\pi$ から 3 回使うと、次のようになる。

8 つの座標を 2 つずつ組にした 4 つの平面から、1 つずつ π が入った形である。E8 格子は 1 点あたりの体積が 1 で、半径 $1/\sqrt{2}$ の球を置けるので、詰まり具合は $\frac{{\pi }^4}{24}\times {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^8=\frac{{\pi }^4}{384}\approx 0.2537$ になる。これより密な詰め方が無いことは、マリナ・ヴィヤゾウスカが証明した。論文が arXiv に載ったのは 2016 年 3 月 14 日、円周率の日である。