リッチフローとポアンカレ予想

証明そのものは数百ページになる。ここでは式の働きを球と円で確かめ、ペレルマンの 3 本目の原稿の要の不等式が同じ計算から出ることを示す。添え字は $1,\dots ,n$ を走り、上下にそろった添え字は足し合わせる。

1. 座標で書くと、リッチ・テンソルは計量の 2 階の微分と、1 階の微分の 2 次の項からなる。

   $$\begin{array}{rl}-2R_{ij}& =g^{kl}({\partial }_k{\partial }_l{g}_{ij}+{\partial }_i{\partial }_j{g}_{kl}\\ & -{\partial }_i{\partial }_k{g}_{jl}-{\partial }_j{\partial }_k{g}_{il})\\ & +(\partial g\text{ の 2 次の項})\end{array}$$

2. かっこの中の後ろの 3 つは、流れに合わせて座標を少しずつ動かすと消せる(デタークの方法、1983 年)。残るのは、成分ごとの熱方程式 $\partial u/\partial t={\sum }_k{\partial }_k^{2}u$ と同じ型の式に、1 階の微分だけの項を足した形である。

   $$\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}=g^{kl}{\partial }_k{\partial }_l{g}_{ij}+(\partial g\text{ の 2 次の項})$$

3. 半径 $r$ の $n$ 次元の球面では、計量は半径 1 の球面の計量 ${\hat{g}}_{ij}$ の $r^2$ 倍で、リッチ・テンソルは次の形になる($n=3$ では $2g_{ij}/r^2$)。

   $$\begin{array}{rl}{g}_{ij}& =r^2{\hat{g}}_{ij}\\ R_{ij}& =\frac{n-1}{r^2}{g}_{ij}=(n-1){\hat{g}}_{ij}\end{array}$$

4. 形を保って半径だけが変わるとして式に入れると、右辺は $r$ によらない。

   $$\frac{d(r^2)}{dt}{\hat{g}}_{ij}=-2(n-1){\hat{g}}_{ij}$$

5. 積分すると、半径の 2 乗が一定の速さで減る。3 次元の球面は、時刻 $r_0^2/4$ に 1 点へ縮む。

   $$r(t{)}^2=r_0^2-2(n-1)t$$

6. 2 次元では $R_{ij}=K{g}_{ij}$($K$ はガウス曲率)なので、面積の要素は $2K$ の割合で縮む。

   $$\frac{\partial }{\partial t}dA=\frac{1}{2}{g}^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}dA=-2KdA$$

7. ガウス・ボネの定理 $\int KdA=2\pi \chi$ を使う。$\chi$ はオイラーの多面体定理の $V-E+F$ で、球面では 2 である。卵形でもでこぼこでも、面積は同じ速さで減る。

   $$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}\text{面積}& =-2\int KdA\\ & =-4\pi (V-E+F)=-8\pi \end{array}$$

8. 1 つ下の次元の、平面の閉じた曲線で考える。各点を、曲率 $\kappa$ の速さで曲がっている側へ動かす(曲線短縮流)。円では $\kappa =1/r$ なので、半径は 2 次元の球面と同じ式で縮む。

   $$\frac{dr}{dt}=-\frac{1}{r}⟹r(t{)}^2=r_0^2-2t$$

9. 長さ $ds$ の部分は時間 $dt$ に $\kappa dt$ だけ動き、面積を $\kappa dsdt$ 削る(へこんだ所は $\kappa$ が負で、外へふくらむ)。自分と交わらない閉じた曲線を 1 周すると接線はちょうど 1 回転する(回転数の定理)ので、$\kappa$ の和は $2\pi$ である。

   $$\frac{dA}{dt}=-\oint \kappa ds=-2\pi$$

10. 長さは $dL/dt=-\oint {\kappa }^{2}ds$ で減る。9 と合わせて、等周比 $L^2/A$ の変わり方を求める。

    $$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}\frac{L^2}{A}& =\frac{2L}{A}\frac{dL}{dt}-\frac{L^2}{A^2}\frac{dA}{dt}\\ & =-\frac{2L}{A}\left(\oint {\kappa }^{2}ds-\frac{\pi L}{A}\right)\end{array}$$

11. ゲージは 1983 年に、凸の曲線では次の不等式が成り立つことを示した。凸の曲線の等周比は減り続け、等周不等式 $L^2\ge 4\pi A$ の下限、円の $4\pi$ へ向かう。

    $$\oint {\kappa }^{2}ds\ge \frac{\pi L}{A}⟹\frac{d}{dt}\frac{L^2}{A}\le 0$$

12. ペレルマンの 3 本目の原稿は、多様体の中の輪を曲線短縮流で、計量をリッチフローで同時に動かす。輪に張った最小の膜の面積 $A$ について、9 の回転数の定理を曲面に広げたガウス・ボネの定理から $-2\pi$ が出る($R_{\min }$ はスカラー曲率の最小値。平らなら 9 と同じ式)。

    $$\frac{dA}{dt}\le -2\pi -\frac{1}{2}{R}_{\min }(t)A$$

13. スカラー曲率の式 $\partial R/\partial t=\Delta R+2|\mathrm{Ric}{|}^2$ と $|\mathrm{Ric}{|}^2\ge R^2/3$ から、定数 $c$ をとって $R_{\min }(t)\ge -3/\{2(t+c)\}$ となる。12 に入れると、$\hat{A}=A/(t+c)$ は次を満たす。

    $$\frac{d\hat{A}}{dt}\le -\frac{2\pi }{t+c}$$

14. 右辺を積分すると、$\log (t+c)$ のように限りなく大きくなる。$A$ は、まとめて 1 点へ縮められない輪の族から決める量で、多様体が残るかぎり正である。だから流れは有限の時刻で終わる(多様体が消える)しかない。

    $$\hat{A}(t)\le \hat{A}(0)-2\pi \log \frac{t+c}{c}$$

2 の形は、ナビエ・ストークス方程式の粘性の項 $\mu {\nabla }^2\mathbf{u}$ と同じ熱方程式の型である。あちらは解が滑らかに続くかが懸賞の問いだが、リッチフローは滑らかさが壊れることを認め、手術で先へ進んだ。

14 までの筋は難しい所を飛ばしている。輪が同じ弧を折り返す形だと曲線短縮流をうまく決められないので、ペレルマンはアルトシューラーとグレイソンの方法で 1 つ上の次元に持ち上げた。単連結な閉じた 3 次元多様体では手術つきの流れ(2 本目の原稿)が有限の時刻で消え、同じ原稿の分類により、それは球面を有限の群で割った形と $S^2\times S^1$ をつなぎ合わせたものになる。単連結になるのは 3 次元の球面だけなので、予想が成り立つ。完全な証明は、ペレルマンの 3 本の原稿と、クライナーとロットの論文、モーガンと田剛の本にある。